COURS de LICENCE de Maths – Idfolles

Topologie

TOPOLOGIE I. Chapitre 1 Un espace métrique est ensemble E muni d’une métrique d qui est une application de E dans R+ telle que d(x,x) = 0 d(x,y) = d(y,x) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) On peut en déduire l’inégalité triangulaire renversée d(x,y) > I d(x,z) – d(z,y) I Métrique usuelle : La valeur absolue …

Chapître 1 : Espace métrique, ouverts, fermé, adhérence etc…

I. Chapitre 1 1°) Définition d’un espace métrique Un espace métrique est ensemble E muni d’une métrique d qui est une application de E dans R+ telle que d(x,x) = 0 d(x,y) = d(y,x) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) On peut en déduire l’inégalité triangulaire renversée d(x,y) > | d(x,z) – d(z,y) | 2°) Métriques …

Chapitre 2 : Suites convergentes et applications continues

1. Suites convergentes Df : On appelle suite $\x_n\$ une application de $\mathbbN$ dans un espace métrique E Df : On appelle sous-suite d’une suite $\\alpha_n\$ toute composé de $\alpha\circ\phi$ où $\phi$ est une application de $\mathbbN$ dans lui-même. (Exemple sous-suite des termes paires ou impaires) Df : On dit que $\x_n\$ converge ssi : …

Chapitre 3 : Espace COMPLET

1. Espace complet, Critère de Cantor fort Df : on appelle suite de Cauchy toute suite $\U_n\$ telle que $\forall \epsilon>0 \exists N, \forall p>N, \forall q>N \Longrightarrow |U_p,U_q|

Chapitre 4 : espace compact

1. Définition selon Bolzano-Weierstrass Un espace est dit compact si de toute suite on peut extraire une sous suite convergente Si un espace est compact cela implique qu’il est complet et bornée Les parties compactes d’un espace E sont incluses dans les parties complètes elles mêmes incluses dans les parties fermées Notion de précompact : …