1. Rappel :
On appelle applications linéaires d’ev un homomorphisme entre ev
F élément de L(V,W) est injective ssi Ker(F)=0
Pour f de V dans V Ker(f) et Im(f) sont des sev de V
L(V,W) est un ev
On appelle dual algébrique toute applications linéaires de V vers les réels ou les complexes.
L(V,V) est une algèbre, ces applications linéaires sont appelées des transformation linéaires de V
L(F^p,F^n) F=R ou C est identifiable à l’ev des matrices Mn,p(F) à n lignes et p colonnes.
2. Applications linéaires continues
Proposition 1
les propositions suivantes sont équivalentes
f élément de L(V,W)
(1) f est continue en un point
(2) f est continue en 0
(3) f est continue en tout point de V
(4) f est uniformément continue
(5) f est régulière c-a-d qu’il existe c tel que ||f(x)||<= c||x|| Proposition 2
sup(||f(x)||/||x||,x différent de 0 élément de V)
=sup(||f(x)||/||x||,||x||<=1) =sup(||f(x)||/||x||,||x||=1)=inf(c>0, quel que soit x,||f(x)||<=c||x||) =||f|| f continue si ||f|| < l'infini 3. L’espace LC(V,W)
Théorème 1
L’ev des applications linéaires de V dans W est evn pour la norme définie dans la proposition 2. Et si W est est un espace de Banach alors LC(V,W) est une espace de Banach
LC(V,V) s’appelle l’ensemble des opérateurs de V
4. Exemples généraux
a) Si W est un espace de Banach L(V,W) est un espace de Banach
b) L(F,W) il existe une isométrie entre F et L(F,W)
c) LC(V,F) est un dual topologique noté V’, c’est aussi un espace de Banach
d) Hyperplan. Si f est une forme linéaire du dual topologique LC(V,F) alors Ker(f) est appelé Hyperplan de F (on a Pour tout x de V-Ker(f), Lin(Ker(f)Ux)=V)
e) L’ensemble des opérateurs de V dans V continues est une algèbre si V est complet (espace de Banach). Il est noté Oméga(V).
5. Exemples particuliers
a) Les opérateurs des intégrales et primitives sur les fonctions continues sur un interval [a,b] où les intégrales et les primitives sont munis de la norme sup(|f(t)|,T élément de [a,b]) et sont à valeur dans R. C’est un dual topologique
b)Opérateur de Fredholm à suivre