Quelques rappels du 1er Cycle sur les suites et les séries

Quelques rappels en vracs (ce qu’il y a d’important)

1. Si

$\U_2n\$

et

$\U_2n+1\$

ont même limite l alors

$\U_n\$

a pour limite l

2. Si p étant donné,

$\U_p+n\$

a pour limite l alors

$\U_n\$

a pour limite l

3. Suite encadrées : si

$V_n\leq U_n\leq W_n$

et que

$V_n$

et

$W_n$

ont même limite l alors

$\U_n\$

a pour limite l.

4. Si

$\U_n\$

est croissante et majorée alors elle est convergente

5. Suites adjacentes : Si

$\U_n\$

est croissante et si

$\V_n\$

est décroissante et si la limite de

$U_n-V_n$

quand n tend vers + infini est nulle
Alors

$\U_n\$

et

$\V_n\$

sont convergentes et ont même limite.

6 Suites particulières :

Arithmétiques

$U_n+1=U_n+r$ $U_n=U_0+nr$ $S_n=(n+1)(U_0+U_n)
\over2$

Géométriques

$U_n+1=qU_n$ $U_n=U_0q^n$ $S_n=(U_0)(1-q^n+1)
\over1-q$

Arithmético-géométrique

$U_n+1=aU_n+b$ $U_n=a^nU_0+b(1-a^n)
\over1-a$

Suite définie par une double récurrence

$U_n=aU_n-1+bU_n-2$

On résoud

$x^2-ax – b =0$

Deux cas :

a) deux solutions r1 et r2

$\exists\lambda,\nu,U_n= \lambda r_1^n+\nu r_2^n$

b) une racine double r0

$\exists\lambda,\nu,U_n= r_0^n(\lambda + \nu n)$

7. Séries, Règle de

$n^\alphaU_n$

Règle de Cauchy, Règle de D’alembert.

a) Critère Normal de Convergence :

Si la limite de Un quand n tend vers l’infini ne tend pas vers 0 alors Sn la série de terme général Un est divergente

b) Si Un=f(n) et f décroissante et positive alors Sn et

$\int_0^\inftyf(t)dt$

sont de même nature

b) Si 00 et Vn>0 et

$U_n\sim V_n$

en +l’infini les séries qui en sont issus sont de même nature.

d) Règle de Kummer Si Un et Vn sont à termes positifs et si

$\forall n>p U_n+1\overU_n\leq V_n+1\overV_n$

alors si

$\Sigma V_n$

converge alors

$\Sigma U_n$

converge

alors si

$\Sigma U_n$

diverge alors

$\Sigma V_n$

diverge

e) Règle de

$\alpha U_n$

:

Si

$U_n \sim_\infty \lambda
\over n^\alpha$

alors

$\Sigma U_n$

et

$\Sigma \lambda
\over n^\alpha$

sont de même nature

Si

$\lim_n \to +\infty n^\alphaU_n=0$

et si

$\alpha > 1$

alors

$\Sigma U_n$

converge

Si

$\lim_n \to +\infty n^\alphaU_n=+\infty$

et si

$\alpha \leq 1$

alors

$\Sigma U_n$

diverge

f) Règle de Cauchy

Si

$\lim_n \to +\infty\sqrt[n] U_n<1$

alors

$\Sigma U_n$

converge

Si

$\lim_n \to +\infty\sqrt[n] U_n>1ou1^+$

alors

$\Sigma U_n$

diverge

g) Règle d’Alembert

Si

$\lim_n \to +\inftyU_n+1\over U_n<1$

alors

$\Sigma U_n$

converge

Si

$\lim_n \to +\inftyU_n+1\over U_n>1ou1^+$

alors

$\Sigma U_n$

diverge

h) Série absolument convergente

Df : une série est absolument convergente ssi

$\Sigma |U_n|$

converge

Propriété : Si une série est absolument convergente alors

$\Sigma U_n$

converge

Une série qui converge mais pas absolument est dîte semi-convergente