Quelques rappels du 1er Cycle sur les suites et les séries

Quelques rappels en vracs (ce qu’il y a d’important)

1. Si

$\

U_2n\$

$\

U_2n+1\$

ont même limite l alors

$\

U_n\$

a pour limite l

2. Si p étant donné,

$\

U_p+n\$

a pour limite l alors

$\

U_n\$

a pour limite l

3. Suite encadrées : si

$V_

n\leq U_n\leq W_n$

et que

$

V_n$
et
$$$ W_n$
ont même limite l alors
$$\$ U_n\$
a pour limite l.

4. Si
$$\$ U_n\$
est croissante et majorée alors elle est convergente

5. Suites adjacentes : Si
$$\$ U_n\$
est croissante et si
$$\$ V_n\$
est décroissante et si la limite de
$$U_$ n-V_n$
quand n tend vers + infini est nulle
Alors
$$\$ U_n\$
et
$$\$ V_n\$
sont convergentes et ont même limite.

6 Suites particulières :

Arithmétiques
$$U_$ n+1=U_n+r$ $$U_$ n=U_0+nr$ $$S_$ n=(n+1)(U_0+U_n)\over2$
Géométriques
$$U_$ n+1=qU_n$ $$U_$ n=U_0q^n$ $$S_$ n=(U_0)(1-q^n+1)\over1-q$
Arithmético-géométrique
$$U_$ n+1=aU_n+b$ $$U_$ n=a^nU_0+b(1-a^n)\over1-a$
Suite définie par une double récurrence
$$U_$ n=aU_n-1+bU_n-2$
On résoud
$$x^$ 2-ax – b =0$
Deux cas :

a) deux solutions r1 et r2
$$\exists\lambda,\nu,U_$ n= \lambda r_1^n+\nu r_2^n$
b) une racine double r0
$$\exists\lambda,\nu,U_$ n= r_0^n(\lambda + \nu n)$
7. Séries, Règle de
$$n^$ \alphaU_n$
Règle de Cauchy, Règle de D’alembert.

a) Critère Normal de Convergence :

Si la limite de Un quand n tend vers l’infini ne tend pas vers 0 alors Sn la série de terme général Un est divergente

b) Si Un=f(n) et f décroissante et positive alors Sn et
$$\int_$ 0^\inftyf(t)dt$
sont de même nature

b) Si 00 et Vn>0 et
$$U_$ n\sim V_n$
en +l’infini les séries qui en sont issus sont de même nature.

d) Règle de Kummer Si Un et Vn sont à termes positifs et si
$$\forall n>p$ U_n+1\overU_n\leq V_n+1\overV_n$
alors si
$$\Sigma V_$ n$
converge alors
$$\Sigma U_$ n$
converge

alors si
$$\Sigma U_$ n$
diverge alors
$$\Sigma V_$ n$
diverge

e) Règle de
$$\alpha U_$ n$
:

Si
$$U_$ n \sim_\infty \lambda\over n^\alpha$
alors
$$\Sigma U_$ n$
et
$$\Sigma$ \lambda\over n^\alpha$
sont de même nature

Si
$$\lim_$ n \to +\infty n^\alphaU_n=0$
et si
$$\alpha > 1$$
alors
$$\Sigma U_$ n$
converge

Si
$$\lim_$ n \to +\infty n^\alphaU_n=+\infty$
et si
$$\alpha \leq 1$$
alors
$$\Sigma U_$ n$
diverge

f) Règle de Cauchy

Si
$$\lim_$ n \to +\infty\sqrt[n] U_n<1$
alors
$$\Sigma U_$ n$
converge

Si
$$\lim_$ n \to +\infty\sqrt[n] U_n>1ou1^+$
alors
$$\Sigma U_$ n$
diverge

g) Règle d’Alembert

Si
$$\lim_$ n \to +\inftyU_n+1\over U_n<1$
alors
$$\Sigma U_$ n$
converge

Si
$$\lim_$ n \to +\inftyU_n+1\over U_n>1ou1^+$
alors
$$\Sigma U_$ n$
diverge

h) Série absolument convergente

Df : une série est absolument convergente ssi
$$\Sigma |U_$ n|$
converge

Propriété : Si une série est absolument convergente alors
$$\Sigma U_$ n$
converge

Une série qui converge mais pas absolument est dîte semi-convergente