Chapître 1 : Espace métrique, ouverts, fermé, adhérence etc…

I. Chapitre 1

1°) Définition d’un espace métrique

Un espace métrique est ensemble E muni d’une métrique d qui est une application de E dans R+ telle que

d(x,x) = 0

d(x,y) = d(y,x)

d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) On peut en déduire l’inégalité triangulaire renversée d(x,y) > | d(x,z) – d(z,y) |

2°) Métriques usuelles :

La valeur absolue dans R d(x,y) = |x -y|

Le module dans C

La métrique associée à toute norme

La métrique produit dans un ensemble produit d(x,y) = Max (d(xi,yi))

La métrique de la convergence uniforme sur les applications bornées de E vers F (bornée signifie que diam (f(E)) < ∞) d(f,g) = Max(|f(x),g(x)|, x $\$\backslash in\$$ E)

3°) Boules, ouverts, fermés, adhérence, intérieur, extérieur, frontière, point isolé, point d’accumulation, espace dense, séparabilité :

Une boule ouverte Bo(x,r) = y $\$\backslash in\$$ E, |x,y| < r

Une boule fermée Bf(x,r) = y $\$\backslash in\$$ E, |x,y| $\$\backslash ieq\$$ r

X est un ouvert de E ssi $\$\backslash forall\; x\; \backslash in\; X\; \backslash exists\; r\; >\; 0,\; b(x,r)\; \backslash subset\; X\$$

X est un fermé ssi son complémentaire dans E est un ouvert.

Une réunion infini d’ouverts est un ouvert

Une intersection finie d’ouverts est un ouvert

Une réunion finie de fermés est un fermé

Une intersection infinie de fermés est un fermé

Adhérence de X :notée $\$\backslash bar$X$ ou Adh(X) est le plus petit fermé contenant X.

$\$x\; \backslash in\; \backslash bar$X \Longleftrightarrow \forall r > 0, b(x,r) \cap X \neq \emptyset$

L’adhérence d’un fermé est le fermé lui même.

L’intérieur d’un partie X de E c’est le plus grand des ouverts contenue dans X noté Int(X)
L’extérieur d’une partie X de E c’est le plus grand des ouverts ne contenant pas X et c’est aussi l’intérieur de C(X) C (signifie Complémentaire de)

Front(X) = C(Int(X) $\$\backslash cup\$$ Ext(X))

E = réunion des trois ensembles disjoints Int, Front et Ext

Adh(X) = Int(X) $\$\backslash cup\$$ Front(X) = X $\$\backslash cup\$$ Front(X)

x est un point isolé de X ssi $\$\backslash exists\; r\; >\; 0,\; b(x,r)\; \backslash cap\; X\; =\; \backslash emptyset\$$

x est un point d’accumulation ssi $\$\backslash forall\; r\; >\; 0,\; b(x,r)-\backslash$x\ \cap X \neq \emptyset$

Adh(X) = Isolé(X) $\$\backslash cup\$$ Acc(X)

X est dense partout dans E ssi Adh(X) = E

L’espace E est dit séparable ssi il existe S dénombrable telle que Adh(S) = E

R l’ensemble des réels est séparable par Q car Q est dénombrable et dense dans R