Table des matières Chapître 1 : Espace métrique, ouverts, fermé, adhérence etc… 1 Chapitre 2 : Suites convergentes et applications continues 2 Quelques rappels du 1er Cycle sur les suites et les séries 4 Chapitre 3 : Espace COMPLET 6 Complétude de l’ensemble des réels 8 Chapitre 4 : espace compact 8 Espace vectoriel normé, …
Conséquences du théorème de Liouville
Théorème de D’Alembert Tout polynome non constant à une racine complexe. Equivalent à Tout polynome de degré n a n racines complexes. Démonstration P(z) est une fonction holomorphe et non constante. Nous allons démontrer par l’absurde que c’est impossible si P(z) différent de 0. 1/P(z) est une fonction holomorphe comme quatient de fonction holomorphe. Quelque …
Fonctions holomorphes : intégrales de Cauchy et conséquences remarquables
0. Formule de Green-Riemann Soit Pdx+Qdy une forme différentielle de classe C1 sur un compact simple K. Si $\delta K$ désigne le bord orienté de K Alors $$\int_\delta K Pdx + Qdy=\int\int_K[\delta P\over\delta x–\delta Q\over\delta y]dxdy$$ Exemple de compact élémentaires (le cercle, l’éllipse, le triangle, les polygones) et ces deux schémas suivants : Un compact …
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Fonctions holomorphes et conformes
Le terme holomorphe veut dire “forme entière”. Il vient du fait que si une fonction de variable complexe est dérivable alors elle dérivable à l’infini et donc développable en séries entières. f holomorphe est équivalent à (si f(z) = P(x,y) + iQ(x,y) où z = x+iy) P et Q différentiable et $$\delta P\over\delta x=\delta Q\over\delta …
La fonction exponentielle complexe et les fonctions qui en naissent
Différence entre le fonction exponentielle complexe et réel La première est surjective mais pas injective alors que l’exponentielle sur les réels est injective mais pas surjective (e^x est positif strictement) Les solutions à l’équation Z=e^z où z l’inconnue est donc le logarithme complexe de Z, ces solutions sont de la forme z=log|Z| + i*ArgZ et …
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Séries entières : théorèmes généraux
Introduction : Une série entière est une fonction sur R ou C définie par une suite $$S(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+….+a_nx^n+….$$ Théorème fondamental : Toute série admet un rayon de convergence R $$\textnormaltel que si |x| inf(R,R’). S(x) et S'(x) ont même rayon de convergence $$a_n=S^(n)(0)\overn!$$ du au DL formule de Taylor Young. Si la série est convergente on …
Algèbre : Groupes
Ce que j’ai retenu du cours d’algèbre licence : les groupes Cours de Brigitte Duffaud (CTU Besançon) Chapitre 1 : Groupe définition : Ensemble muni d’une loi interne possédant les propriétés AES Associativité, Elément neutre, Symétrique Un groupe peut être commutatif ou abélien si pour tout x,y, xy = yx exemples de groupe groupe diédral …
Quelques notions préliminaires
1. Axiome de choix et théorème de Zorn L’axiome de choix dit qu’il existe une application surjective (c-a-d dont toute image a au moins un antécédent) de l’ensemble des parties d’un ensemble E dans lui même. Il se décline avec le théorème de Zorn qui dit Dans tout ensemble inductif (c-a-d dont toutes les parties …
Factorisation des grands nombres
Soit N = xy on ne connait que N et on cherche x et y Si la différence entre x et y est moins de 20 (je n’ai pas encore généralisé à des différence plus grande) (dans l’exemple elle est de 2 comme pour les nombres premiers jumeaux) Alors je pose la conjecture que le …
Comment calculer une racine carrée
on recherche $x = \sqrt a$ Donc on a $(x – \sqrt a)^2=0$ D’où en développant $x^2 – 2x\sqrt a + a = 0$ Soit $2x\sqrt a = x^2 + a$ en posant $x_n = \sqrt a$ et $x_n-1 = x$ on obtient la suite récurrente suivante qui converge toujours vers la racine carrée de …