Des révisions de cours manuscrites Deux exemples d’épreuves de l’ancien bac techno STAE (mais le cours a très peu changé par rapport au STAV) corrigées En tout 23 pages
Tous les nombres de la forme (25^(2n+1)+1)/26 et (625^(2n+1)+1)/626
Tous les nombres de la forme $(25^2n+1+1)/26$ Se terminent par 601 Tous les nombres de la forme $(625^2n+1+1)/626$ Se terminent soit par 40001 soit par 90001 et certains avec 2n+1 premier sont premiers pour 2n+1=1,3,11,31,61
Conséquences du théorème de Liouville
Théorème de D’Alembert Tout polynome non constant à une racine complexe. Equivalent à Tout polynome de degré n a n racines complexes. Démonstration P(z) est une fonction holomorphe et non constante. Nous allons démontrer par l’absurde que c’est impossible si P(z) différent de 0. 1/P(z) est une fonction holomorphe comme quatient de fonction holomorphe. Quelque …
Fonctions holomorphes : intégrales de Cauchy et conséquences remarquables
0. Formule de Green-Riemann Soit Pdx+Qdy une forme différentielle de classe C1 sur un compact simple K. Si $\delta K$ désigne le bord orienté de K Alors $$\int_\delta K Pdx + Qdy=\int\int_K[\delta P\over\delta x–\delta Q\over\delta y]dxdy$$ Exemple de compact élémentaires (le cercle, l’éllipse, le triangle, les polygones) et ces deux schémas suivants : Un compact …
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Fonctions holomorphes et conformes
Le terme holomorphe veut dire “forme entière”. Il vient du fait que si une fonction de variable complexe est dérivable alors elle dérivable à l’infini et donc développable en séries entières. f holomorphe est équivalent à (si f(z) = P(x,y) + iQ(x,y) où z = x+iy) P et Q différentiable et $$\delta P\over\delta x=\delta Q\over\delta …
La fonction exponentielle complexe et les fonctions qui en naissent
Différence entre le fonction exponentielle complexe et réel La première est surjective mais pas injective alors que l’exponentielle sur les réels est injective mais pas surjective (e^x est positif strictement) Les solutions à l’équation Z=e^z où z l’inconnue est donc le logarithme complexe de Z, ces solutions sont de la forme z=log|Z| + i*ArgZ et …
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Séries entières : théorèmes généraux
Introduction : Une série entière est une fonction sur R ou C définie par une suite $$S(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+….+a_nx^n+….$$ Théorème fondamental : Toute série admet un rayon de convergence R $$\textnormaltel que si |x| inf(R,R’). S(x) et S'(x) ont même rayon de convergence $$a_n=S^(n)(0)\overn!$$ du au DL formule de Taylor Young. Si la série est convergente on …
le nombre 17
Il semblerait que les nombres de la forme $2^4+8n+1$ seraient tous divisibles par 17 Après calcul Tous nombres de la forme $X^4+8n+1$ est divisible par $X^4+1$ J’irai même plus loin Soit N un nombre donné Tous nombres de la forme $X^N+2Nn+1$ est divisible par $X^N+1$ n peut décrire l’ensemble des entiers naturels
Loi normale centrée réduite
Visualisatation de P(X inférieur à a) pour une loi normale centrée réduite de densité f(x)=exp(-x²/2)
Factorisation
Comment à l’aide d’un demi-cercle de rayon sqrt(N) et d’un trapèze inscrit on obtient deux nombres, deux distances qui multipliées entre elles donne N ici on DCxCE=29×41 quelle que soit la position du point C