Théorème de D’Alembert
Tout polynome non constant à une racine complexe.
Equivalent à Tout polynome de degré n a n racines complexes.
Démonstration
P(z) est une fonction holomorphe et non constante. Nous allons démontrer par l’absurde que c’est impossible si P(z) différent de 0.
1/P(z) est une fonction holomorphe comme quatient de fonction holomorphe.
Quelque soit la valeur de B on peut trouver A tel que si |z| >= A alors |P(z)| > B car |P(z)| tend vers l’infini quand |z| tend vers l’infini
on a donc |1/P(z)|
Si deux fonction f et g coïncident sur un voisinage d’un point de D (D connexe)
alors elle sont identiques dans D
Soit un ouvert D connexe et E un sous ensemble de D possédant au moins un point d’accumulation, si g et h coïncident sur E alors elle coîncident sur D
Principe du maximum
Dire qu’une fonction f admet un maximum relatif en a signifie que pour un certain voisinage de a |f(z)|<|f(a)| Dans ce cas f est alors constante sur un voisinage de a. Si de plus D dont a est l'élément est connexe alors f est constante sur D. Lemme de Schwartz
A SUIVRE