Le triplet (E, +, .) est un espace vectoriel (ev) sur K ssi : (E,+) est une groupe commutatif et . est une loi de composition externe entre K et E aux propriétés suivantes
Chapître 1 : Espace métrique, ouverts, fermé, adhérence etc…
I. Chapitre 1 1°) Définition d’un espace métrique Un espace métrique est ensemble E muni d’une métrique d qui est une application de E dans R+ telle que d(x,x) = 0 d(x,y) = d(y,x) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) On peut en déduire l’inégalité triangulaire renversée d(x,y) > | d(x,z) – d(z,y) | 2°) Métriques …
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Chapitre 2 : Suites convergentes et applications continues
1. Suites convergentes Df : On appelle suite $\x_n\$ une application de $\mathbbN$ dans un espace métrique E Df : On appelle sous-suite d’une suite $\\alpha_n\$ toute composé de $\alpha\circ\phi$ où $\phi$ est une application de $\mathbbN$ dans lui-même. (Exemple sous-suite des termes paires ou impaires) Df : On dit que $\x_n\$ converge ssi : …
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Quelques rappels du 1er Cycle sur les suites et les séries
Quelques rappels en vracs (ce qu’il y a d’important) 1. Si $\U_2n\$ et $\U_2n+1\$ ont même limite l alors $\U_n\$ a pour limite l 2. Si p étant donné, $\U_p+n\$ a pour limite l alors $\U_n\$ a pour limite l 3. Suite encadrées : si $V_n\leq U_n\leq W_n$ et que $V_n$ et $W_n$ ont même …
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Chapitre 3 : Espace COMPLET
1. Espace complet, Critère de Cantor fort Df : on appelle suite de Cauchy toute suite $\U_n\$ telle que $\forall \epsilon>0 \exists N, \forall p>N, \forall q>N \Longrightarrow |U_p,U_q|
Complétude de l’ensemble des réels
Chapitre 4 : espace compact
1. Définition selon Bolzano-Weierstrass Un espace est dit compact si de toute suite on peut extraire une sous suite convergente Si un espace est compact cela implique qu’il est complet et bornée Les parties compactes d’un espace E sont incluses dans les parties complètes elles mêmes incluses dans les parties fermées Notion de précompact : …
Espace vectoriel normé, Espace de Banach
1. Rappel sur les evn (espace vectoriel normé) Un espace de Banach est un evn complet Exemple Kpuissance n où K est R ou C 2. Propriétés d’un espace de Banach Prop 1 Tout sous ev d’un ev de Banach est un ev de Banach Prop 2 Tout espace vectoriel normé admet une base algébrique …
Application linéaires continues, espace de Banach LC(V,W)
1. Rappel : On appelle applications linéaires d’ev un homomorphisme entre ev F élément de L(V,W) est injective ssi Ker(F)=0 Pour f de V dans V Ker(f) et Im(f) sont des sev de V L(V,W) est un ev On appelle dual algébrique toute applications linéaires de V vers les réels ou les complexes. L(V,V) est …
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Cours de topologie pdf niveau licence
Table des matières Chapître 1 : Espace métrique, ouverts, fermé, adhérence etc… 1 Chapitre 2 : Suites convergentes et applications continues 2 Quelques rappels du 1er Cycle sur les suites et les séries 4 Chapitre 3 : Espace COMPLET 6 Complétude de l’ensemble des réels 8 Chapitre 4 : espace compact 8 Espace vectoriel normé, …