Chapitre 2 : Suites convergentes et applications continues

1. Suites convergentes

Df : On appelle suite $\x_n\$ une application de $\mathbbN$ dans un espace métrique E

Df : On appelle sous-suite d’une suite $\\alpha_n\$ toute composé de $\alpha\circ\phi$$\phi$ est une application de $\mathbbN$ dans lui-même.

(Exemple sous-suite des termes paires ou impaires)

Df : On dit que $\x_n\$ converge ssi :

$\forall \epsilon >0 \exists N, \forall n > N |x_n,l| < \epsilon$

Propriétés immédiates :

a) La limite d’une suite est unique

b) Toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite

c) L’ensemble des valeurs d’une suite convergente est une partie bornée

Proposition 1

a) x est adhérent à X ssi une suite convergente à éléments dans X connverge vers x

b) adh(X) est égale à l’ensemble des limites de suites d’éléments de X

c) X est un fermé si toute suite convergente à éléments dans X a sa limite dans X

2. Continuité

Df Une application f de E dans F est dîtes continue en a ssi

$\forall \epsilon \exists \eta,\forall x,|x,a|<\eta \Rightarrow |f(x),f(a)|<\epsilon$

Df Une fonction est continue sur une ensemble E ssi elle est continue en tout point de E

Df Une fonction est uniformément continue sur E si $\eta$ ne dépend pas de l’élément x.

Df Une fonction est lipschitzienne ou régulière ssi

$\exists k,\forall x \in E, \forall y \in E |f((x),f(y)|

Df Les applications lipschitziennes sont incluses dans les applications uniformément continues elles-même incluses dans les applications continues

Proposition 2

Une application f de E dans F est continue ssi toute suite $\alpha$ convergente dans E est telle que $f\circ\alpha$ est une suite convergente dans F

THEOREME DE CARACTERISATION DES APPLICATIONS CONTINUES

Les propositions suivantes sont équivalentes :

a) f est une application continue de E dans F

b) L’image réciproque des ouverts de F est l’ensemble des ouverts de E

c) L’image réciproque des fermés de F est l’ensemble des fermés de F

d) L’image de adh(X) est contenue dans adh(f(X))

e) toute suite convergente a pour image une suite convergente

Proposition 3
L’ensemble d’égalité de deux applications continues de E dans F est un fermé de F

Corrolaire : Si deux applications sont égales sur une partie S dense dans E, alors f = g

THEOREME DE COMPOSITION DES APPLICATIONS CONTINUES

La composée de deux applications continues est continues (idem en remplaçant continu par uniformément continu ou lipschitziennes)

3. Homéomorphismes, métriques équivalentes

Df Une applications f de E dans F bijective telle que f et $f^-1$ sont continues est appelée un homéomorphisme

Df Deux métriques sont dits topologiquement équivalentes si l’identité de (E,d) vers (F,$\delta$) est un homéomorphisme

Proposition 4

Les propositions suivantes sont équivalentes :

a) d et $\delta$ sont deux métriques équivalentes.

b) Les ouverts de E pour d sont les mêmes que pour $\delta$

c) Les fermées de E pour d sont les mêmes pour $\delta$

d) Les suites convergentes de E pour d et $\delta$ sont les mêmes

e) Les applications continues de E pour d et $\delta$ sont les mêmes.

Df Deux mêmes que l’on a défini des métriques topologiquements équivalentes on peut définir des métriques uniformément ou régulièrement équivalentes.

Remarque :

On dit que des propriétés qui ne sont pas perturbés par le remplacement de métriques topologiquement équivalentes (resp uniformément, resp régulièrement) sont des propriétés topologiques (resp de structure uniforme, resp de structure lipschitzienne)