Quelques rappels du 1er Cycle sur les suites et les séries – Idfolles

Quelques rappels du 1er Cycle sur les suites et les séries

Quelques rappels en vracs (ce qu’il y a d’important)

1. Si $\U_2n\$ et $\U_2n+1\$ ont même limite l alors $\U_n\$ a pour limite l

2. Si p étant donné, $\U_p+n\$ a pour limite l alors $\U_n\$ a pour limite l

3. Suite encadrées : si $V_n\leq U_n\leq W_n$ et que $V_n$ et $W_n$ ont même limite l alors $\U_n\$ a pour limite l.

4. Si $\U_n\$ est croissante et majorée alors elle est convergente

5. Suites adjacentes : Si $\U_n\$ est croissante et si $\V_n\$ est décroissante et si la limite de $U_n-V_n$ quand n tend vers + infini est nulle
Alors $\U_n\$ et $\V_n\$ sont convergentes et ont même limite.

6 Suites particulières :

Arithmétiques

$U_n+1=U_n+r$

$U_n=U_0+nr$

$S_n=(n+1)(U_0+U_n)\over2$

Géométriques

$U_n+1=qU_n$

$U_n=U_0q^n$

$S_n=(U_0)(1-q^n+1)\over1-q$

Arithmético-géométrique

$U_n+1=aU_n+b$

$U_n=a^nU_0+b(1-a^n)\over1-a$

Suite définie par une double récurrence

$U_n=aU_n-1+bU_n-2$

On résoud $x^2-ax – b =0$

Deux cas :

a) deux solutions r1 et r2

$\exists\lambda,\nu,U_n= \lambda r_1^n+\nu r_2^n$

b) une racine double r0

$\exists\lambda,\nu,U_n= r_0^n(\lambda + \nu n)$

7. Séries, Règle de $n^\alphaU_n$ Règle de Cauchy, Règle de D’alembert.

a) Critère Normal de Convergence :

Si la limite de Un quand n tend vers l’infini ne tend pas vers 0 alors Sn la série de terme général Un est divergente

b) Si Un=f(n) et f décroissante et positive alors Sn et $\int_0^\inftyf(t)dt$ sont de même nature

b) Si 00 et Vn>0 et $U_n\sim V_n$ en +l’infini les séries qui en sont issus sont de même nature.

d) Règle de Kummer Si Un et Vn sont à termes positifs et si $\forall n>p U_n+1\overU_n\leq V_n+1\overV_n$

alors si $\Sigma V_n$ converge alors
$\Sigma U_n$ converge

alors si $\Sigma U_n$ diverge alors
$\Sigma V_n$ diverge

e) Règle de $\alpha U_n$ :

Si $U_n \sim_\infty \lambda\over n^\alpha$ alors $\Sigma U_n$ et $\Sigma \lambda\over n^\alpha$ sont de même nature

Si $\lim_n \to +\infty n^\alphaU_n=0$ et si $\alpha > 1$ alors $\Sigma U_n$ converge

Si $\lim_n \to +\infty n^\alphaU_n=+\infty$ et si $\alpha \leq 1$ alors $\Sigma U_n$ diverge

f) Règle de Cauchy

Si $\lim_n \to +\infty\sqrt[n] U_n<1$ alors
$\Sigma U_n$ converge

Si $\lim_n \to +\infty\sqrt[n] U_n>1ou1^+$ alors
$\Sigma U_n$ diverge

g) Règle d’Alembert

Si $\lim_n \to +\inftyU_n+1\over U_n<1$ alors
$\Sigma U_n$ converge

Si $\lim_n \to +\inftyU_n+1\over U_n>1ou1^+$ alors
$\Sigma U_n$ diverge

h) Série absolument convergente

Df : une série est absolument convergente ssi $\Sigma |U_n|$ converge

Propriété : Si une série est absolument convergente alors $\Sigma U_n$ converge

Une série qui converge mais pas absolument est dîte semi-convergente