1. Rappel sur les evn (espace vectoriel normé)
Un espace de Banach est un evn complet
Exemple Kpuissance n où K est R ou C
2. Propriétés d’un espace de Banach
Prop 1
Tout sous ev d’un ev de Banach est un ev de Banach
Prop 2
Tout espace vectoriel normé admet une base algébrique
Prop 3
Si deux normes sont équivalentes (c-a-d il existe h et k tels que quelque soit x élément de E alors hl(x)<=n(x)<=kl(x)) sur E alors (E,n) est un espace de Banach si et seulement si (E,l) est une espace de Banach. Prop 4 Tout espace vectoriel de Banach de dimension finie n est isomorphe à K^n.
Prop 5
Tous les ev de dimension finie sont donc de Banach et leur sev sont donc des fermés
Prop 6
Toutes les normes sont donc équivalentes sur les evn de dimension finie