Une série entière est une fonction sur R ou C définie par une suite
| $$S(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+….+a_nx^n+….$$ |
Théorème fondamental :
Toute série admet un rayon de convergence R
| $$\textnormaltel que si |x| |
Autres théorèmes
Si S(x) a un rayon de convergence R et T(x) un rayon R’ alors S+T converge avec un rayon R” > inf(R,R’).
S(x) et S'(x) ont même rayon de convergence
| $$a_n=S^(n)(0)\overn!$$ |
du au DL formule de Taylor Young.
Si la série est convergente on peut intervertir les signes somme infini et ‘ les signes somme infini et intégrales.
Une fonction qui peut se développer en série entière est dites analytique