Quelques rappels du 1er Cycle sur les suites et les séries

Quelques rappels en vracs (ce qu’il y a d’important)

1. Si $$\$ U_2n\$ et $$\$ U_2n+1\$ ont même limite l alors $$\$ U_n\$ a pour limite l

2. Si p étant donné, $$\$ U_p+n\$ a pour limite l alors $$\$ U_n\$ a pour limite l

3. Suite encadrées : si $$V_$ n\leq U_n\leq W_n$ et que $$$ V_n$ et $$$ W_n$ ont même limite l alors $$\$ U_n\$ a pour limite l.

4. Si $$\$ U_n\$ est croissante et majorée alors elle est convergente

5. Suites adjacentes : Si $$\$ U_n\$ est croissante et si $$\$ V_n\$ est décroissante et si la limite de $$U_$ n-V_n$ quand n tend vers + infini est nulle
Alors $$\$ U_n\$ et $$\$ V_n\$ sont convergentes et ont même limite.

6 Suites particulières :

Arithmétiques

$$U_$ n+1=U_n+r$

$$U_$ n=U_0+nr$

$$S_$ n=(n+1)(U_0+U_n)\over2$

Géométriques

$$U_$ n+1=qU_n$

$$U_$ n=U_0q^n$

$$S_$ n=(U_0)(1-q^n+1)\over1-q$

Arithmético-géométrique

$$U_$ n+1=aU_n+b$

$$U_$ n=a^nU_0+b(1-a^n)\over1-a$

Suite définie par une double récurrence

$$U_$ n=aU_n-1+bU_n-2$

On résoud $$x^$ 2-ax – b =0$

Deux cas :

a) deux solutions r1 et r2

$$\exists\lambda,\nu,U_$ n= \lambda r_1^n+\nu r_2^n$

b) une racine double r0

$$\exists\lambda,\nu,U_$ n= r_0^n(\lambda + \nu n)$

7. Séries, Règle de $$n^$ \alphaU_n$ Règle de Cauchy, Règle de D’alembert.

a) Critère Normal de Convergence :

Si la limite de Un quand n tend vers l’infini ne tend pas vers 0 alors Sn la série de terme général Un est divergente

b) Si Un=f(n) et f décroissante et positive alors Sn et $$\int_$ 0^\inftyf(t)dt$ sont de même nature

b) Si 00 et Vn>0 et $$U_$ n\sim V_n$ en +l’infini les séries qui en sont issus sont de même nature.

d) Règle de Kummer Si Un et Vn sont à termes positifs et si $$\forall n>p$ U_n+1\overU_n\leq V_n+1\overV_n$

alors si $$\Sigma V_$ n$ converge alors
$$\Sigma U_$ n$ converge

alors si $$\Sigma U_$ n$ diverge alors
$$\Sigma V_$ n$ diverge

e) Règle de $$\alpha U_$ n$ :

Si $$U_$ n \sim_\infty \lambda\over n^\alpha$ alors $$\Sigma U_$ n$ et $$\Sigma$ \lambda\over n^\alpha$ sont de même nature

Si $$\lim_$ n \to +\infty n^\alphaU_n=0$ et si $$\alpha > 1$$ alors $$\Sigma U_$ n$ converge

Si $$\lim_$ n \to +\infty n^\alphaU_n=+\infty$ et si $$\alpha \leq 1$$ alors $$\Sigma U_$ n$ diverge

f) Règle de Cauchy

Si $$\lim_$ n \to +\infty\sqrt[n] U_n<1$ alors
$$\Sigma U_$ n$ converge

Si $$\lim_$ n \to +\infty\sqrt[n] U_n>1ou1^+$ alors
$$\Sigma U_$ n$ diverge

g) Règle d’Alembert

Si $$\lim_$ n \to +\inftyU_n+1\over U_n<1$ alors
$$\Sigma U_$ n$ converge

Si $$\lim_$ n \to +\inftyU_n+1\over U_n>1ou1^+$ alors
$$\Sigma U_$ n$ diverge

h) Série absolument convergente

Df : une série est absolument convergente ssi $$\Sigma |U_$ n|$ converge

Propriété : Si une série est absolument convergente alors $$\Sigma U_$ n$ converge

Une série qui converge mais pas absolument est dîte semi-convergente