Différence entre le fonction exponentielle complexe et réel
La première est surjective mais pas injective alors que l’exponentielle sur les réels est injective mais pas surjective (e^x est positif strictement)
Les solutions à l’équation Z=e^z où z l’inconnue est donc le logarithme complexe de Z, ces solutions sont de la forme z=log|Z| + i*ArgZ et il y en a une infinité connue toutes à 2ikPi près.
On dit que le logarithme complexe est une fonction multiforme
Si on choisit 1 valeur du log complexe pour chacun des éléments d’un ouvert Delta inclue dans C (ensemble des complexes) on obtient alors une détermination du log complexe.
Si cette détermination est continue alors on dit que c’est une branche
Dans tout ouvert de C* tel que l’on ne puisse pas y tracer une courbe fermée entourant l’origine, il existe une infinité de détermination du logarithme complexe
Zero est un point de branchement
z= log|Z|+i*Teta où Teta est élément de ]-Pi; Pi[ est la détermination principale du log complexe. L’axe des réel négatif est appelé une coupure