Fonctions holomorphes : intégrales de Cauchy et conséquences remarquables

0. Formule de Green-Riemann

Soit Pdx+Qdy une forme différentielle de classe C1 sur un compact simple K.

$\delta K$

désigne le bord orienté de K

Alors

$$\int_

\delta K Pdx + Qdy=\int\int_K[\delta P\over\delta x–\delta Q\over\delta y]dxdy$$

Exemple de compact élémentaires (le cercle, l’éllipse, le triangle, les polygones) et ces deux schémas suivants :

Un compact simple est un compact qui peut-être décomposé en compacts élémentaires : voir schéma suivant

1. Formules de Riemann

Première formule

Sur un compact simple K dont la bordure est composée de fonction de classe C1,

toute fonction holomorphe est telle que

$\int_

\delta Kf(z)dz=0$

Deuxième formule

Dans les mêmes conditions ci dessus. a étant un point intérieur de K

$\int_

\delta Kf(z)\overz-adz=2i\Pi f(a)$

2. Analycité des fonctions holomorphes et théorème de Liouville

Toute fonction holomorphe est analytique

Le terme générale de la série est

$a_

n=1\over2\Pi\int_\delta Kf(re^i\Theta)e^-in\Theta\overr^nd\Theta$

Inégalité de cauchy

$|a_

n|<M\overr^n$

où M est

$M=sup(|f(re^

i\Theta |)$

Théorème de Liouville

Toute fonction holomorphe sur le tout le plan et bornée est constante