TOPOLOGIE
I. Chapitre 1
Un espace métrique est ensemble E muni d’une métrique d qui est une application de E dans R+ telle que
d(x,x) = 0
d(x,y) = d(y,x)
d(x,z) < d(x,y) + d(y,z)
On peut en déduire l’inégalité triangulaire renversée
d(x,y) > I d(x,z) – d(z,y) I
Métrique usuelle : La valeur absolue dans R d(x,y) = Ix -yI
Le module dans C
La métrique associée à toute norme
La métrique produit dans un ensemble produit
d(x,y) = Max (d(xi,yi))
La métrique de la convergence uniforme sur les applications bornées de E vers F (bornée signifie que diam (f(E)) < ∞)
d(f,g) = Max(If(x),g(x)I, x * E)
Boules, ouverts, fermés, adhérence, intérieur, extérieur, frontière, point isolé, point d’accumulation, espace dense, séparabilité :
Une boule ouverte Bo(x,r) =
Une boule fermée Bf(x,r) =
X est un ouvert de E ssi *
X est un fermé ssi son complémentaire dans E est un ouvert.
Une réunion infini d’ouverts est un ouvert
Une intersection finie d’ouverts est un ouvert
Une réunion finie de fermés est un fermé
Une intersection infinie de fermés est un fermé
Adhérence de X :*
L’adhérence d’un fermé est le fermé lui même.
L’intérieur d’un partie X de E c’est le plus grand des ouverts contenue dans X
*
L’extérieur d’une partie X de E c’est le plus grand des ouverts ne contenant pas X et c’est aussi l’intérieur de CX
*
Front(X) = C(Int(X) * Ext(X)) = adh(X) * adh(CX)
*
E = réunion des trois ensembles disjoints Int, Front et Ext
Adh(X) = Int(X) * Front(X) = X * Front(X)
x est un point isolé ssi *
x est un point d’accumulation ssi *
Adh(X) = Isolé(X) * Acc(X)
X est dense partout dans E ssi Adh(X) = E
L’espace E est dit séparable ssi il existe S dénombrable telle que Adh(S) = E
R est séparable par Q car Q est dénombrable et dense dans R
II. Chapitre 2 : suites et applications continues
Suites convergentes, suites de Cauchy.
Une suite xn est convergente ssi :
*
La limite d’une suite est unique.
Une sous suite est une suite Ukn où kn est une bijection de N dans N.
La limite d’une sous suite extraite d’une suite convergente “est la même”
Une suite est dite de Cauchy ssi :
*
Une sous suite extraite d’une suite de Cauchy est aussi de Cauchy
Une suite de Cauchy converge ssi une sous suite converge
Adhérence et limite d’une suite :
x est adhérent à X ssi il existe une suite d’éléments de X qui converge vers x
X est un fermé si toute suite convergente d’éléments de X converge dans X
Applications continues :
f est continues sur X ssi , *
f est uniformément continue ssi , *
(le choix de * est indépendant du choix de x)
Les applications lipschitziennes ou dites régulières sont des applications uniformément continues telles que : *
Caractérisation des applications continues :
f est continue en x ssi l’image de toute suite convergeant vers x est une suite fo convergeant vers f(x)
f est continue ssi l’image de toute suite convergente est une suite convergente.
f est continue ssi l’image réciproque d’un ouvert est un ouvert
f est continue ssi l’image réciproque d’un fermé est un fermé
f est continue ssi l’image de l’adhérence d’une partie de E est contenue dans l’adhérence de l’image.
Applications composées : toute composition d’applications continues est continue
Homéomorphismes : métriques équivalentes
III. Chapitre 3 : espace complet
Dans un espace métrique toute suite convergente est une suite de Cauchy
Un espace métrique est complet ssi toute suite de Cauchy est convergente
Exemple :