Cours de seconde – Idfolles

Cours et Exercices de
Mathématiques en Seconde Professionnelle

Le
calcul numérique

Rappels
sur les fractions

Une
fraction :
où
a et b des nombres entiers.

a est appelé
le numérateur et b le dénominateur

Pour additionner deux
fractions, il faut qu’elles aient même dénominateur

Exemples :

Si je veux additionner
je
vois sur le graphique que
.

Donc
=

Si
on veut faire l’addition suivante :
on
voit

Car le
cercle est divisible en 6 quartiers ( voir figure).

Donc
on a

Cas
général d’addition de deux fractions :

(ad
signifie a fois d etc…)

La règle qui sous tend tout cela est qu’une
fraction ne « change » pas si l’on multiplie en
même temps son numérateur et son dénominateur par
le même chiffre.

Le dénominateur commun est la multiplication des
dénominateurs des deux fractions.

EXERCICES
:

Calculer les rationnels suivants ; simplifier
l’écriture obtenue

A
==

B ==

C ==

D ==

E ==

Même énoncé que le 1)

A
=dénominateur
commun 4×3=12

A =

B =deux
possibilités : soit dénominateur commun égal à
4 ou 2×4=8

B =

ou B =

C =dénominateur
commun 5×3=15

C =

D =deux
possibilités : soit dénominateur commun égal à
6 ou 2×6=12

D =on
utilise le fait que (-)x(-)=(+)

ou D =

E =dénominateur
commun 4×3=12

E =

Même énoncé que le 1)

A
=dénominateur
commun 4×3=12 ou 2x3x4=24

A =

ou A =

B =dénominateur
commun 12 ou 12x4x3. Avec 12 le calcul est plus simple

B =

C =dénominateur
commun 30 ou 5x15x10=750

Comment trouver 30 ? Le premier dénominateur est
5, le deuxième 3×5 le troisième 2×5.

On prend chaque facteur 5x3x2=30

Autre
exemple : si les dénominateurs sont 50, 15, et 10. 50=2x5x5,
15=3×5 et 10=2×5

Alors le dénominateur
commun est : 2x5x5x3 le facteur 5 est deux fois présent car
dans 50 on a 5×5.

C =

Explication :

pour
passer du dénominateur 5 à 30 il faut multiplier par
30/5=6 en « haut » et en « bas »
de la fraction.

D =dénominateur
commun 12. Pour la première fraction pour arriver à 12
il faut donc multiplier par 2, et pour le dernière par 3.

D =

Pour multiplier deux fractions, c’est plus simple que
l’addition (on n’a pas besoin de créer de dénominateur
commun.

Exemple :
le
point signifie x (fois, multiplié par)

Cas
général de la multiplication de deux fractions

Même énoncé que le 1)

A =

A =on
peut simplifier un facteur qui est présent au numérateur
comme au dénominateur

B =

C =

D =

D =(-)x(-)
= (+)

Cas
général de la division de deux fractions

(:
signifie divisé par, . Signifie
multiplié par)

Même énoncé que le 1)

A =

B =

C
=

C =

D =

Les
puissances de 10 ou autres et
la notation scientifique

Exemples :

4 = 2×2 = 2² on
lit 2 au carré.

27 = 3×9 = 3x3x3 = 3³
on lit 3 au cube

16 = 4×4 = 2x2x2x2 = 2⁴
on lit 2 puissance 4

1 = 10⁰ 10
puissance 0

10 = 10¹ 10
puissance 1

100 = 10² 10
puissance 2

1000 = 10³ 10
puissance 3

10000 = 10⁴ 10
puissance 4

etc …

0,1 = 10^-1 10
puissance -1. On déplace la virgule de 1 vers la gauche

0,01 = 10^-2 10
puissance -2. On déplace la virgule de 2 vers la gauche

0,001 = 10^-3 10
puissance -3. On déplace la virgule de 3 vers la gauche

etc…

Généralisation

axaxa…….xa = aⁿ
a puissance n (il y a n facteurs a)

et propriétés

a^mxaⁿ=a^(m+n)

Les
racines carrées

Quand on connait un nombre
on peut toujours calculer son carré en le multipliant par
lui-même. L’objectif du calcul de la racine carré
est inverse : on part du carré et l’on recherche le
nombre qui l’a engendré.

En géométrie,
c’est comme partir de la surface d’un carré et
rechercher la mesure du côté du carré.

C’est aussi le
calcul nécessaire pour connaître la diagonale d’un
rectangle ou d’un carré.

La racine carrée
d’un nombre était connue dès l’antiquité.
On l’appelait nombre incommensurable car il ne pouvait être
écrit dans certains cas sous forme de fraction exacte.

Propriétés
:

Si x = a² alors a =

Une racine carrée est toujours positive

Les
pourcentages et la proportionnalité

Un pourcentage est une
fraction dont le dénominateur est 100.

Pour ramener une fraction
en % il suffit donc de la multiplier par 100.

Exemple :

Combien représente
20 euros sur 400 euros ?

La fraction est
et
le pourcentage
==
5 %

Tous les calculs
possibles avec les pourcentages.

Quatre
cas de figure se présente avec les pourcentage :

On
augmente un nombre de par exemple 8,3 % (8,3 % = 0,083). Dans ce
cas pour obtenir le résultat final on multiplie par
1,083 ou par 108,3/100.
On
diminue un nombre de par exemple 5 % (5 % = 0,05). Dans ce cas
pour obtenir le résultat final on multiplie par 0,95
(100% – 5% = 95% = 0,95) ou par 95/100.
On
a augmenté un nombre de 19,6% (par exemple pour passer du
prix HT au prix TTC). On veut retrouver le nombre avant son
augmentation (c’est-à-dire retrouver le prix HT connaissant
le prix TTC). Dans ce cas on divise par 1,196. Rappelez vous
pour augmenter (passer du prix HT au prix TTC) on a multiplié
par 1,196 donc pour faire le chemin inverse il faut diviser par
1,196.
On
a diminué un nombre de 5 %. On connaît le nombre
après sa diminution et on veut retrouver le nombre (plus
grand) avant cette diminution de 5%.

Dans ce cas là on divise par 0,95.

L’algèbre

Qu’est
ce que l’algèbre

L’algèbre
c’est écrire des expressions avec multiplication,
addition, soustraction, carrés, distributivité, où
certains nombres sont remplacés par des lettres. L’intéret
est que la lettre (x souvent) peut représenter n’importes
quels nombres. On peut alors résoudre des équations,
c’est à dire des égalité où la
lettre x (ou a ou b ou y) n’est pas connue pour que l’égalité
soit vérifiée

Développer,
réduire, ordonner

Quelques règles :

xxx = x²

x²xx = x³
etc …

x³ + x²
ne sont pas additionnable, cela ne donne surtout pas x⁵ ou
ou 5x ou autre chose

Règles des signes :

(+)(+) = +

(+)(-) = –

(-)(+) = +

(-)(-) = +

Règle de
distributivité :

A = (3x – 5)(-4x –7)
= 3x(-4x) +3x(-7) + (-5)(-4x) + (-5)(-7) = -12x² –21x
+ 20x + 35

A = -12x² –x
+ 35

Les
identités remarquables

(a +b)² = a²
+ 2ab + b²

(a -b)² = a²
– 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a²
– b²

Les erreurs les plus
courantes (a + b)² = a² + b² et
oublier le double produit 2ab

Factoriser

Factoriser signifie mettre
sous forme de facteur

C’est plus facile de
calculer 2(5+3) = 2×8 =16 que 2×5 + 2×3 qui n’est pas une forme
où l’on aurait mis en facteur le 2. Voilà une
des raisons pour laquelle on factorise.

Règles de
factorisation :

mettre en facteur un
terme commun : exemple :

(x + 1)(3x + 5) + 2(x + 1)
= (x + 1)[(3x + 5) + 2] = (x + 1)(3x + 7)

utiliser une identité
remarquable

Vous utiliserez pour
l’instant ces deux règles.

Equations
du premier degré à une inconnue

Equation signifie que nous
avons une égalité dont nous ne savons la valeur de
l’inconnue notée souvent x qui vérifierai
l’égalité.

Premier degré
signifie que l’inconnue n’est pas au carré ou au
cube ou à une puissance supérieure.

Une équation a deux
membres de part et d’autre du signe égal.

Règles pour
résoudre une équation du premier degré à
une inconnue :

Règles de
séparation des nombres et des inconnues : lorsqu’il y a
addition de deux éléments dans un membre, l’un
des élément de l’addition peut passer en
changeant de signe dans l’autre membre de l’équation
Un nombre en
multiplication passe en division de tout l’autre membre de
l’équation sans changer de signe ; un nombre en
division passe en multiplication de tout l’autre membre de
l’équation.

Exemple d’application
des règles.

3x – 7 = 5 devient 3x = 5
+7 (application de la première règle)

devient 3x = 12 et x =
soit x = 4 (application de la deuxième règle)

On peut vérifier
que 3×4 – 7 = 12 – 7 = 5

Pour une équation avec l’inconnue au dénominateur :

Comme dans l’exemple suivant :

$$$ 5\over 3x + 5 = 7\over 2x +7$

Des qu’il y a des inconnues au dénominateur on passe dans l’autre membre en multiplication en précisant que x soit différent de -5/3 (solution de 3x + 5 = 0) et x différent de -7/2 (solution de 2x + 7=0)

On obtient :

$$5(2x+7) = 7(3x+5)$$ et ça on sait résoudre

Autre méthode : mettre tout au même dénominateur dans chaque membre et supprimer le dénominateur…..