Test statistique du KHI2

Objectifs du cours

I. Dans l’introduction : faire le lien avec les cours des années précédentes. Resituer le contexte et ainsi l’utilité du test du KHI2

II. Présenter les applications du KHI2

III. Présenter un test de KHI2 par l’exemple. Démythifier la complication du test

IV. Exercices d’applications

I. Introduction du cours : 5 min

En stav vous avez vu les tableaux de contingences ou diagramme de Caroll.
Ces tableaux consiste à croiser les données. Cette à dire que l’on mesure sur un échantillon ou sur tous les individus d’une population deux caractères A et B (c-a-d deux variables statistiques) qualitatifs ou quantitatifs et l’on crée un tableau où l’on donne le nombre d’individus pour chaque modalité du premier caractère en fonction des modalités du deuxième caractère.

Exemple

Tableau de contingences

	Fumeur	Non fumeur	Totaux marginaux
Femme	50	35	85
Homme	40	37	77
Totaux marginaux	90	72	162

On les appelle dans un tableur, des tableaux croisés dynamiques et on les crée avec le menu outil pilote de données sous openoffice calc.

Une fois le tableaux créés on peut se demander si les 2 caractères sont dépendants l’un de l’autre, c’est-à-dire dans notre exemple s’il y a significativement statistiquement plus de fumeurs femme, que de furmeurs homme, et ainsi dire que le caractère fumeur ou non est dépendant du sexe de la personne.

Et souvent des pourcentages qui peuvent nous apparaître comme différents après test du KHI2 deviennnent non significatif.

C’est donc l’objet du test du KHI2 de déterminer si deux caractères sur une population donnée sont dépendant ou non.

II. Cas d’utilisation du KHI2 : 5 min

On utilise donc le KHI2 dans deux cas :

Le premier pour savoir si deux caractères sont dépendants ou on

Le second pour savoir si une distribution réelle suit ou on une loi donnée (un exemple très connu est la détermination du caractère pipé ou non d’un dé sachant qu’un dé doit suivre une loi uniforme)

III. Test du KHI2 à partir d’un exemple : 30 min

Nous allons prendre un exemple d’expérimentation agricole. Plus précisément en arboriculture. Cet exemple est tiré du livre “Mathématiques pour le BTSA” de Burg, Cabanac et Piedevache aux éditions CEPADUES.

Un arboriculteur veut tester 4 traitements qui influent sur la fructification. Ils veut savoir si les quatre traitements ont le même effet ou non. Un test de KHI2 qui détermine s’il y a dépendance ou non entre le caractère qualitatif traitement (on notera A, B, C , D les quatre traitements) et le caractère quantitatif (nombres de rameaux fructifiés ou non) va justement permettre de déterminer s’il y a des différences significatives entre les traitements.

Voici le résultat de l’expérimentation

tableau contingence 2

Traitements	A	B	C	D	Totaux
Sans fruits	280	350	320	350	1300
Avec fruits	200	150	180	170	700
Totaux	480	500	500	520	2000

Nous formulons maintenant l’hypothèse $\$H\_$0$ :

“Il y a indépendance entre traitement et présence du fruit”

Il nous faut maintenant construire le tableau des effectifs théoriques, c’est-à-dire comme s’il y avait indépendance entre les deux caractères

En probabilité on dit que deux évènements A et B sont indépendants si :

$\$P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; P(A)P(B)\$$

Nous allons appliquer cette formule à notre cas en utilisant les totaux marginaux.

La probabilité pour qu’un rameau choisi au hasard soit sans fruit est de $\$1300\; \backslash over\; 2000\$$

La probabilité pour qu’un rameau choisi au hasard soit issu d’un traitement A est de $\$480\; \backslash over\; 2000\$$

Donc si l’hypothèse $\$H\_$0$ est vérifiée :

La probabilité q’un rameau pris au hasard soit sans fruit et issu d’un traitement A est de : $\$$1300 \over 2000 \times 480 \over 2000$

Donc en multipliant par l’effectif total 2000, on obtient l’effectif des rameaux sans fruits issus d’un traitement A

On obtient donc le calcul des effectifs théoriques suivant :

effectifs théoriques

Traitement	A	B	C	D	Totaux
Sans fruits	$\$$1300 \times 480 \over 2000$	$\$$1300 \times 500 \over 2000$	$\$$1300 \times 500 \over 2000$	$\$$1300 \times 520 \over 2000$	1300
Avec fruits	$\$$700 \times 480 \over 2000$	$\$$700 \times 500 \over 2000$	$\$$700 \times 500 \over 2000$	$\$$700 \times 520 \over 2000$	700
Totaux	480	500	500	520	2000

Pour déterminer un élément du tableau, on effectue le produit du total de la ligne par le total de la colonne de cet élément et l’on divise par l’effectif

A partir des deux tableaux on en calcule un troisième qui va nous permettre de calculer le $\$\backslash chi^$2_calcule$

calcul du KHI2 calculé

Traitement	A	B	C	D	Totaux
Sans fruits	3,28	1,92	0,08	0,43
Avec fruits	6,10	3,57	0,14	0,79
Totaux					16,31

Chaque cellule du tableau ci-dessus est calculé en faisant

$\$$(n_reel-n_theorique)^2 \over n_theorique$

le KHI2 calculé $\$\backslash chi^$2_calcule = 16,31$ est la somme de chaque cellule

IV. Fin du test et conclusion

Enfin il n’y a plus qu’à comparer le KHI2 calculé au KHI2 critique ou théorique pour accepter ou rejeter l’hypothèse Hzéro

Si $\$\backslash chi^$2_calcule < \chi^2_critique$ alors Hzéro est acceptée

Si $\$\backslash chi^$2_calcule > \chi^2_critique$ alors Hzéro est rejetée

Si $\$\backslash chi^$2_critique$ est donné par la table suivante où l’on choisit le risque 1% ou 5% et le degré de liberté = ddl = (l-1)(c-1) -k

où l = nombre de ligne du tableau de contingences (sans les totaux)
et c = nombre de colonne du tableau de contingences (sans les totaux)
et k = nombre de paramètres estimés

ici avec un risque de 5% et un ddl = (2-1)(4-1) – 0 = 3

on a $\$\backslash chi^$2_critique = 7.81$

Donc on rejette $\$H\_$0$ il n’y a pas indépendance entre la nature du traitement et la présence de fruits.

V. Exercices