Author: admin4315

I. Chapitre 1 1°) Définition d’un espace métrique Un espace métrique est ensemble E muni d’une métrique d qui est une application de E dans R+ telle que d(x,x) = 0 d(x,y) = d(y,x) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) On peut en déduire l’inégalité triangulaire renversée d(x,y) > | d(x,z) – d(z,y) | 2°) Métriques …

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1. Suites convergentes Df : On appelle suite $\x_n\$ une application de $\mathbbN$ dans un espace métrique E Df : On appelle sous-suite d’une suite $\\alpha_n\$ toute composé de $\alpha\circ\phi$ où $\phi$ est une application de $\mathbbN$ dans lui-même. (Exemple sous-suite des termes paires ou impaires) Df : On dit que $\x_n\$ converge ssi : …

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Quelques rappels en vracs (ce qu’il y a d’important) 1. Si $\U_2n\$ et $\U_2n+1\$ ont même limite l alors $\U_n\$ a pour limite l 2. Si p étant donné, $\U_p+n\$ a pour limite l alors $\U_n\$ a pour limite l 3. Suite encadrées : si $V_n\leq U_n\leq W_n$ et que $V_n$ et $W_n$ ont même …

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1. Espace complet, Critère de Cantor fort Df : on appelle suite de Cauchy toute suite $\U_n\$ telle que $\forall \epsilon>0 \exists N, \forall p>N, \forall q>N \Longrightarrow |U_p,U_q|

1. Définition selon Bolzano-Weierstrass Un espace est dit compact si de toute suite on peut extraire une sous suite convergente Si un espace est compact cela implique qu’il est complet et bornée Les parties compactes d’un espace E sont incluses dans les parties complètes elles mêmes incluses dans les parties fermées Notion de précompact : …

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1. Rappel sur les evn (espace vectoriel normé) Un espace de Banach est un evn complet Exemple Kpuissance n où K est R ou C 2. Propriétés d’un espace de Banach Prop 1 Tout sous ev d’un ev de Banach est un ev de Banach Prop 2 Tout espace vectoriel normé admet une base algébrique …

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1. Rappel : On appelle applications linéaires d’ev un homomorphisme entre ev F élément de L(V,W) est injective ssi Ker(F)=0 Pour f de V dans V Ker(f) et Im(f) sont des sev de V L(V,W) est un ev On appelle dual algébrique toute applications linéaires de V vers les réels ou les complexes. L(V,V) est …

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