Suites géométriques et emprunts

Vous connaissez les suites géométriques

$\$U\_$n + 1 = qU_n$ où q est la raison de la suite

Ce qui donne pour propriété

$\$U\_$n = U_0q^n$

et $\$S\_$n = U_01 – q^n + 1\over 1 – q$

Dans le cas de mathématiques financière et d’intérets composés (c’est-à-dire que les intérets rapportent eux mêmes des intérets)
On peut dire que si l’on place un capital $\$C\_$0$ pendant n annuités (une annuité peut être un mois ou une année) il rapportera la somme de :

$\$C\_$n = C_0(1 + i)^n$ où i est le taux d’intéret de l’annuité en décimal

(Exemple si le taux est de 12% annuel et que l’annuité est le mois i = 12%/12 = 1% = 0,01)

Voyons maintenant le cas d’un placement d’une somme A fixe toutes les annuités pendant n annuités à terme échu.

La première somme va rapporter $\$A(1\; +\; i)^$n – 1$

La deuxième somme va rapporter $\$A(1\; +\; i)^$n – 2$

La troisième somme va rapporter $\$A(1\; +\; i)^$n – 3$

ETC ETC…

L’avant avant-dernière somme va rapporter $\$A(1\; +\; i)^$2$

L’avant dernière $\$A(1\; +\; i)\$$

La dernière A

Au total on a donc en fin de placement la somme S :

$\$S\; =\; A\; +\; A(1\; +\; i)\; +\; A(1\; +\; i)^$2 + …. + A(1 + i)^n – 3 + A(1 + i)^n – 2 + A(1 + i)^n – 1$

C’est une somme de suite géométrique :

Donc $\$S\; =\; A$1 – (1 + i)^n\over 1 – (1 + i) = A(1 + i)^n – 1\over i$

Imaginons maintenant un emprunt :

Le Banquier me prête une somme S pendant n annuités au taux d’intéret i.

Le banquier veut récupérer $\$S(1\; +\; i)^$n$

Donc pour calculer le montant A de mes remboursements constants je dois résoudre l’équation :

$\$A$(1 + i)^n – 1\over i = S(1 + i)^n$

Ce qui donne après simplification :

$\$A\; =$Si\over 1 – (1 + i)^-n$