Loi normale

Cours variable aléatoire continue, variable
aléatoire normale

1°)
Introduction :

Quand on
étudie une variable en statistique (exemple la hauteur de 2500
plants de pommiers pris dans une même pépinière)
on peut tracer l’histogramme des fréquences

Données :

X = xi hauteur en cm	Effectifs ni	Fréquence fi
[120 ;125[	100	0,04
[125 ;130[	350	0,14
[130 ;135[	650	0,26
[135 ;140[	800	0,32
[140 ;145[	480	0,192
[145 ;150[	120	0,048
	Total	1

Histogramme :

Si l’on
prenait des classes d’intervalles plus réduits on
obtiendrait le même type d’histogramme avec un polygone
des effectifs qui tendrait à ressembler à une courbe en
cloche dite courbe de Gauss du nom de son découvreur.

Courbe
de Gauss :

La
variable statistique X = hauteur des plants de pommier est en fait
une variable continue.

Les
fréquences fi plus les intervalles de chaque classe seraient
petits, peuvent être assimilée à P(X = xi).

fi =
P(X=xi)

2°)
Variable aléatoire continue :

La fonction f définie par f(xi) = P(X=xi) telle que (la
somme des fi fait toujours 1) est appelée densité de
probabilité.

En probabilité une variable aléatoire continue est
donc définie par sa densité de probabilité.

A partir de f fonction de densité on définie une
fonction de répartition :

F(x) = P(X≤x) =

d’autre part P(X

3°)
La variable aléatoire normale ou de Gauss :

Lorsque
une variable aléatoire continue dépend d’un grand
nombre de facteurs tous indépendants les uns des autres, cette
variable a de grande chance de suivre une loi dite normale. C’est
le cas de notre exemple d’introduction.

Gauss a
déterminer la fonction de densité d’une variable
aléatoire normale de moyenne 0 et d’écart-type 1.
On la note N(0 ; 1). Pour N(m ; ) on a la fonction de répartition suivante trouvée par Gauss.

f(x) =

La
fonction de répartition F ne peut être qu’approximée.

P(X ≤
u) est donc donnée dans une table dite table de la loi
normale.(Voir plus loin dans le cours)

4°)
Utilisation de la table :

La table donne par simple lecture : P(X ≤ a) = Donner P(X ≤ 0,92) = P(X ≤ 2,05) = P(X ≤ 1,58) =

Si b < 0, il faut utiliser la symétrie de la courbe par rapport à l’axe [Oy) et tenir compte du faite que la surface totale est égale à 1.
	Comparer les deux aires hachurées A1 et A2 Exprimer sous forme P(X≤x) A1 et A2 et A3 Exprimer A2 en fonction de A3 Exprimer A1 en fonction de A3
Conclusion	P(X ≤ -a) =
Conclusion	P(X ≥ a) =
A.N. : Calculer P(X ≤ -1,25) = P(X ≤ -2,05) = P(X ≤ -1,58) = P(X ≥ 1,56) = P(X ≥ 0,92) = P(X ≥ 2,45) =

De même
essayez de trouver les formule suivantes

P(a ≤ X ≤ b) =	P(-a ≤ X ≤ b) =

Appliquer
le à

Table de la loi normale N(0 ; 1)

5°) Loi normale centrée réduite :

Jusqu’à
maintenant on s’est intéressé à la loi
normale de moyenne 0 et d’écart-type 1

N(0 ;
1). Mais une variable aléatoire normale quelconque a pour
moyenne (ou espérance E(X) c’est la même chose) m
et écart-type σ.

Théorème : Si X est N(m ; σ)
alors

X – m\over \sigma” title=”X – m\over \sigma” style=’vertical-align:middle;’ /> ≤ a – m\over \sigma” title=”a – m\over \sigma” style=’vertical-align:middle;’ />)
où T est N(0 ; 1) Il suffit donc de lire

≤ T est appelée loi normale centrée réduite
de X