Poursuite de l’épisode 4
2^2+1=5
2^3+1=9
2^4+1=17
2^5+1=3*11
2^6+1=5*13
2^7+1=3*43
2^8+1=257
2^9+1=27*19
2^10+1=25*41
2^11+1=3*683
2^13+1=3*2731
Je suis en train de comprendre comment ça marche
Par exemple pour 2^15+1 on peut dire qu’il a les mêmes facteur que 2^3+1 et 2^5+1
Car 15=3*5 (la preuve est assez simple 2^15+1=(2^5)^3+1 or 2^5=3*11-1
d’où 2^15+1=(3*11)[(3*11)^2-3*(3*11)+3] le +1 s’annulant avec le (-1)^3 !!
Il faut que la puissance soit impaire comme ici le 3 dans (2^5)^3)
D’où ainsi :
2^15+1=9*11*331 et 331 est premier
de même 30=6*5=3*10 donc il a les facteur 25, 41 et 13
2^30+1=25*41*13*80581 et 80581 n’est pas premier
En utilisant 2^30+1=(2^15)^2+1=(9*11*331-1)^2+1
Car 2^15+1=9*11*331
On obtient une forme a^2-b^2
donc 2^30+1=32513*33025
On divise le premier par 13 et 41 le second par 25 et on obtient deux nouveaux nombres premiers 61 et 1321
Le problème est d’obtenir les multiples pour les puissances premières
Par exemple pour 2^29+1 ?
Pour 2^28+1 on 28=2*2*7 donc on regarde 2^4+1=17
Donc 2^28+1 divisible par 17
On sait que 2^14+1=5*29*113
Donc 2^28+1=(5*29*113-1)^2+1=ne donne pas a^2-b^2
donc 2^28+1=17*15790321
Pour 2^29 le problème reste entier
2^29+1=3*59*3033169
2^56+1=3*5*17*29*43*113*127*15790321
Tout ceci ne mène à rien et c’est bien dommage
2^112+1=449*2689*65537*183076097*358429848460993
Le mieux est de prendre deux nombres premiers 3*7 on sait d’après la méthode qu’il sera multiple de 9 et 43
2^21+1=9*43*5419
La question, le derniers multiple est-il toujours premier
2^35+1=3*11*43*24214051 mais le dernier nombre n’est pas premier
2^33+1=39*683*67*20857
2^91+1=3*43*2731*7027780602757204958851 qui est composé
2^(11*13)+1=3*683*2731*2003*15500487753323*64179954933093045619 le dernier est composé et l’avant dernier semble être premier