DEFINITION
La fonction logarithme néperien est défini comme la primitive
de $f(x) = 1\over x$ qui s’annule en 1.
L’interprétation graphique est que ln(a) représente l’aire en ua entre la courbe de $1\over x$ et l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x=1 et x=a.
Si a=1 ln(a) = ln1 = 0
Si a<1 lna est négatif Si a>1 lna est positif
Dans tous les cas a>0, on ne peut prendre la ln que d’un nombre positif et non nul
Donc l’ensemble de définition de $f(x) = 1\over x$ est $]0;+\infty [$
Calculer les ensembles de définition de
f(x) = ln(3x + 6)
g(x) = ln(-4x + 2)
h(x) = $\ln(2x^2 – 5x + 3)$
QUELQUES PROPRIETES
ln(ab) = lna + lnb
ln($a\over b$) = lna – lnb
ln($a^n$) = nlna
loga = $lna\over ln10$ c’est le log décimale
log1 = 0
log10 = 1
log100 = 2
log1000 = 3 etc…
EQUATIONS
lnx = a si et seulement si x = $e^a$
car la fonction exponentielle f(x) = $e^x$ est la fonction réciproque (dit aussi inverse) de ln.
Ainsi lnx = 1 ssi x = $e^1$ = e = environ 2,718 Donc ln(e) = 1
SENS DE VARIATION
D’après la définition de ln si f(x) = lnx alors f'(x) = $1\over x$
Donc f'(x) est toujours positive sur $]0;+\infty [$
Donc ln est une foction strictement croissante.
$\lim_x \to 0^+ lnx = -\infty$ Donc asymptote verticale x=0
$\lim_x \to +\infty lnx = +\infty$