1. Définition selon Bolzano-Weierstrass
Un espace est dit compact si de toute suite on peut extraire une sous suite convergente
Si un espace est compact cela implique qu’il est complet et bornée
Les parties compactes d’un espace E sont incluses dans les parties complètes elles mêmes incluses dans les parties fermées
Notion de précompact : un espace métrique est dit précompact si de toute suite on peut extraire une suite de Cauchy
Compact est équivalent à précompact et complet
Autre point de vue
Toute partie de E admet un point d’accumulation.
2. Définition selon Borel-Lebesgue
E un em, est compact est équivalent à si de tout recouvrement d’ouverts de E on peut extraire un recouvrement fini.
Les deux définitions sont équivalentes
Si E est compact les parties fermées et bornées sont des compacts pour la métrique induite
3. Propriétés des compacts
Th 1 l’image des compact par une application continue est un compact
De plus si f est injective alors f est un homéomorphisme (cad fonction inverse continue)
Th du maximum et minimum : une fonction f continue définie sur un compact E est bornée. f a un minimum et un maximum qu’elle atteint.
Th 2 Toute application continue sur un compact est uniformément continue
Th 3 Tout produit fini de compact est un compact
E1xE2 est un compact équivaut à E1 et E2 sont des compacts
4. Théorème d’ascoli, compacité dans l’espace des applications continue sur un compact.
Dans l’ensemble A des applications de E vers F on dit qu’une partie M de A est équicontinue, ou uniformément équicontinue ou régulièrement continue si l’ensemble des éléments de M est respectivement continues, uniformément continues ou régulièrement continues.
Th d’Ascoli
Dans ce cadre là les parties précompactes de M pour la métrique de la convergence uniforme sont les parties équicontinues et les parties compactes celles qui sont équicontinues et fermées.