Chapitre 3 : Espace COMPLET

1. Espace complet, Critère de Cantor fort

Df : on appelle suite de Cauchy toute suite $$\$ U_n\$ telle que $$\forall \epsilon>0 \exists N, \forall p>N, \forall q>N \Longrightarrow |U_$ p,U_q|<\epsilon$

a) Les valeurs d’une suite de Cauchy est un ensemble borné

b) Dans un espace métrique toute suite convergente est de Cauchy

c) Pour montrer qu’une suite de Cauchy est convergente il faut et il suffit de montrer qu’une sous-suite est convergente

Df : On dit qu’un espace métrique est complet sit toute suite de Cauchy est convergente.

Proposition 1

a) si $$\alpha_$ n$ est une suite de Cauchy et f une application uniformément continue alors $$f \circ \alpha_$ n$
est une suite de Cauchy

On en déduit que

b) Si f est homémorphisme de E vers F uniformément continue de E vers F alors : Si F est complet alors E est complet.

Les parties complètes sont incluses dans les parties fermée de E et si E est complet il y a égalité entre les deux ensembles

Proposistion 2

Le produit d’espace métrique est complet ssi tous les espaces qui le compose sont complet.

CRITERE DE CANTOR

E est complet ssi toute suite de fermés Xn décroissante dont le diamètre tend vers zéro a une intersection non vide (réduite nécessairement à un singleton)

2. Théorème du point fixe :

Df : On dit qu’une application est contractante si elle est lipschitzienne de rapport k<1 Th du point fixe : Soit E un espace métrique complet et f une application de E dans lui même. Si f est contractante et admet un point fixe unique a tel que f(a) = a alors tous les itérés $$x_$ n=f^n(x)$ convergent vers a quel que soit la valeur de départ x.

3. Théorème du prolongement d’une application continue

Si f une application de S dense dans E vers F uniformément continue alors il existe un prolongement g de f de E vers F si F est complet. Ce prolongement est uniformément continu.

4. Complété d’un espace E

Tout espace métrique E non complet peut être complété et dans lequel E est alors dense. Le complété de E est unique à une isométrie près.

5. Théorème de Baire

les propositions (i) et (ii) sont équivalentes (passage au complémentaire)

(i) Soit Xn une famille dénombrable d’ouverts partout denses de
E alors l’intersection des Xn est partout dense (et en particulier non vide)

(ii) Soit Xn une famille dénombrable de fermés d’intérieurs vides alors la réunion des Xn a un intérieur vide (et en particulier différents de E)

Dans la terminologie de Baire une partie dont l’intérieur est vide est dite de 1ère catégorie (“maigre” terminologie Bourbakiste). Un partie partout dense (complementaire d’une partie d’intérieur vide) est dite de 2nde catégorie (“rare” terminologie Bourbakiste).

Donc un em complet est dite de seconde catégorie. On dit aussi qu’un espace métrique complet est un espace de baire c’est-à-dire qui vérifie (i).

Corollaire : Dans un espace métrique complet tel qu’il existe une famille Xn telle que la réunion des Xn est égale à E, alors il existe un Xn d’intérieur non vide