Arbres de probabilités – Idfolles

Arbres de probabilités

Soit un sac qui contient 7 boules blanches, 5 boules rouges et 3 vertes. L’épreuve consiste à tirer 3 boules simultanément. Quelle est le probabilité de tirer 1. 3 boules de couleurs différentes 2. 3 boules dont deux au moins sont rouges 3. Au moins 1 boules blanches sur les trois

Cet exercice peut être résolu de deux manières différentes : par le raisonnement ou par l’utilisation d’arbres de probabilité. Nous allons utiliser les deux.

PAR LE RAISONNEMENT

L’événemennt 1. “Tirer trois boules de couleurs différentes” c’est :

Tirer une boule blanche parmi 7 : $7 \choose 1 = 7 choix$ anciennne notation $C_7^1$

ET

Tirer une boule rouge parmi 5 : $5 \choose 1 = 5 choix$

ET

Tirer une boule verte parmi 3 : $3 \choose 1 = 3 choix$

Soit au total $7\times 5\times 3 = 105 choix$

Sur un nombre de possibilité total de $15 \choose 3 = 455 choix$

P(“Tirer 3 boules de couleurs différentes”) = $105\over 455 \simeq 0,231$


Dans cet exercice on considère une première boule, puis une seconde boule, puis une trosième car tirer simultanément revient aussi à tirer une par une.

PAR L’ARBRE DE PROBABILITE

On s’aperçoit qu’il y a 6 cas où l’on a les trois boules de couleurs différentes et chaque cas a pour proba $7\over 15\times 5\over 14\times 3\over 13$

La proba de l’événement 1 = $6\times 7\times 5\times 3\over 15\times 14\times 13 \simeq 0,231$

CQFD

Faîtes donc les calculs avec les deux méthodes pour les événements 2 et 3