Algèbre : Groupes

Ce que j’ai retenu du cours d’algèbre licence : les groupes
Cours de Brigitte Duffaud (CTU Besançon)

Chapitre 1 : Groupe

définition : Ensemble muni d’une loi interne possédant les propriétés AES Associativité, Elément neutre, Symétrique

Un groupe peut être commutatif ou abélien si pour tout x,y, xy = yx

exemples de groupe

groupe diédral à quatre éléments D4 des transformations du plan le laissant
globalement invariant

groupe des racines quatrième de l’unité

groupe quaternionien

Sous groupe : si tout élément du sous groupe a son symétrique dans le sous groupe et si toute somme (ou produit) de deux éléments du sous groupe est encore élément du sous groupe.

Sous groupe engendrée par une partie.

$
$

= p0p1…..pn, pi élément de P U P-1

C’est le plus petit sous-groupe contenant P

Groupe monogène, groupe inifini, groupe cyclique

Tout groupe d’ordre p, p premier, est cyclique (car pour a élément de ce groupe

$$ $$

est d’ordre diviseur de p or p est premier donc

$$ $$

est le groupe)

Loi et table de composition

Treillis d’un groupe

algorithmes de fabrication d’un treillis d’un groupe fini d’ordre n:
1.On calcule pour tous les éléments de G leurs différentes puissances.

2.On ajoute à chaque sous-groupe ainsi créé, un élément de plus dans la partie qu’il
engendre jusqu’à obtenir le groupe G

3.On a le schéma suivant à chaque étape

$$ $$
$$ $$	$$ $$
$$ $$

Si H ou K est normal dans G alors

$ $

= HK = xy, x élément H y élément K

Tous sous-groupes de G est d’ordre diviseur de n.

Pour les groupes cycliques, il faut connaître les propriétés suivantes :

$ $

= e, a, $$a^$ 2 …., a^d-1$si | a | = d

$ $

$

$ ssi b = ai i tel que 0 < i < d i étranger à d

si b = ai i tq 0 < i < d d l'ordre de a alors est d’ordre d/pgcd(i,d)

$ $

est d’ordre d, pour tout diviseur u de d on a le groupe cyclique

$< ad/u>$

d’ordre d/u

Chapitre 2 : Homomorphismes

Il existe deux groupes d’ordre 4 non isomorphes D4 et ?4 et tous les sous groupes d’ordre 4 sont isomorphes à l’un des deux.

Automorphismes intérieur :
ha(x) = axa-1

Un sous groupe H est dit normal (ou distingué ou invariant) si pour tout a élément de G ha(H) inclu dans H

Sous grouoe engendré par des sous groupes normaux

$<$

H0,H1,H2,…..,Hn

$>$

= H0H1H2…..Hn ssi tous les sous-groupes sont normaux

$ $

= HK si au moin l’un des sous-groupe est normal

Homomorphismes de Z dans G.

Il existe un unique homomorphisme h de Z dans G tel que
h(1) = a
h(n) = an ou na si groupe G noté de façon additive (na veut dire a+a+a+….+a n fois et pas n fois a ce qui ne signifierait rien)

$ $

est cyclique d’ordre n ssi an = e

Tout les sous-groupes de Z sont de la forme aZ.

Ensembles des propriétés vues en exercices :

Chapitre 3 : Classe modulo et groupes quotients

Soit G un groupe et H un sous-groupe.
On crée la relation d’équivalence suivante : x équivalent à y ssi x-1y élément de H.

La classe de a élément de G est l’ensemble aH

Etant donné le caractère bijectif entre H et aH et le fait que l’on est une relation d’équivalence on en déduit que tout sous groupe de G est d’ordre diviseur de celui de G

On appelle indice (G:H) le nombre d’élément d’une classe modulo H
Soit H et K deux sous groupes de G : on a (G:K)=(G:H)(H:K).

(G:H) divise |G|

Groupes quotients G/H est constitué de toutes les classes modulo H de G,

Si H est (très important) un sous groupe normal de G, il existe un homomorphisme surjectif q dit homomorphisme canonique de passage au quotient, de G dans G/H tel que ker q = H. Cet homomorphisme canonique q associe à tout élément de G la classe modulo H de cet élément.