Il faudra leur dire chante le poète… Il faudrait me dire pourquoi le monde est absurde… Inmanquablement cycliques où le hasard nous apparaît comme certain quand il n’existe pas, car tout simplement sa suite cyclique est si grande.
Je voudrais écrire ici la théorie mathématique que j’ai découverte. Mais je ne sais si mes pères me prendront pour un farfelu de plus qui manie plus les idées plus ou moins philosophiques que la théorie mathématique.
Cette théorie est née en 2003. Avant de vous l’évoquer en terme mathématique je voudrais vous décrire sa génèse qui me semble toute aussi importante.
La première idée est que tous les contraires coexistent en même temps. Et que l’univers produit des règles sans cesses nouvelles par esprit de contradiction. C’est à dire qu’une règle engendre toujours une règle qui lui est contraire. Il n’y a pas de lumière sans matière, de jour sans nuit, de blanc sans noir. Excusez-moi ces banalités, je force le trait. Ainsi toute chose engendre son contraire.
Dans le domaine des mathétiques j’en veux pour exemple la géométrie euclidienne et celle de Lobatchevski ou Riemann… deux géométries qui se contredisent.
Et les contraires sont comme les deux faces d’une même pièce. Tout est question de point de vue.
C’est ainsi que par esprit de contradiction je me suis dit que la théorie des groupes où l’unité est unique pouvait être contredite en créant une théorie des non groupes ou toute éléments du groupe pouvait être une unité.
Vous me direz c’est impossible car alors tous les éléments du groupe sont identique et on se retrouve avec un ensemble réduit à l’élément neutre.
J’ai alors mis de l’eau dans mon vin et j’ai imaginé la chose suivante : à partir d’un groupe donné, on pourrait associer à chaque entier un élément du groupe et voir ce que celà donne.
Quelle association ai je créé : elle est assez simple.
On part du nombre entier N en base dix, on le convertit dans la base b qui est l’ordre du groupe G. On obtient un nombre N’ dont tous les digits sont des éléments de G. Si G est un groupe additif on additionne tous les digits, on obtient alors un élément de G associé à N. Si G a une loi interne autre (multiplication ou autre) on utilise de la même manière cette dernière.
Voilà ce que j’ai obtenu avec le groupe diédral à quatre éléments, le groupe des racines cinquièmes de l’unité et le groupe des racines dixièmes de l’unité. Cela donne les tableaux suivants que l’on peut retrouver dans le fichier joint à l’adresse suivante :
http://www.idfolles.com/IMG/ods/equiprobabilite_a_partir_des_entiers-2.ods
Je récapitule ci-dessous le cas du groupe diédral à quatre éléments.
Ce que je me suis aperçu c’est que les nombre de 0, 1, 2, 3 sont uniformément répartis. Je croyais au départ que tous les nombres obtenus représentaient un hasard pur. Puis je me suis aperçu dans le cas du groupe diédral qu’il existait une quadri-périodicité : Au bout de 4 puissance 3 = 64 nombre obtenu on obtient la première périodicité suivie de 3 autres de 64 éléments chacune puis le cinquième chiffre obtenu étant 1 (Si N=4 N’=10 et le nombre obtenu est 1 pour le groupe diédral) c’est donc la deuxième périodicité qui se reproduit de N=4*64 à N=5*64-1. Comme le sixième chiffre obtenu est pour N=5 est 0 (car pour N=5 on a N’=11) c’est donc la première périodicité que l’on obtient de N=5*64 à N=6*64-1.
Pour le cas du groupe des racines cinquièmes de l’unité d’ordre 5, on obtient une penta-périodicité de 5 puissance 4 = 625 éléments chacune.
Je voudrais montrer que pour le cas des racines dixièmes de l’unité on obtient une deca-périodicité de 10 puissance 9 éléments chacune.
Pendant l’été 2012 j’ai fait un programme java qui démontre cette déca périodicité de 10 puissance 9 éléments
J’ai aussi montré que si l’on compte par pas de 2(b-1) où b est l’ordre du groupe on obtient une distribution normale discrète