Comment calculer des limites en un point

Prenons la fonction $$f(x)=$ 3x-2\over x-2$

Cette fonction n’est pas définie en x=2 (valeur interdite)

On va donc calculer deux limites

Une pour 2 par valeur supérieur notée $$2^$ >$ c’est à dire pour des valeurs telles que 2,1 ; 2,01 ; 2,001 etc se rapprochant le plus de 2

Et l’autre pour 2 par valeur inférieure notée $$2^$ <$ c’est à dire pour des valeurs telles que 1,9 ; 1,99 ; 1,999 etc se rapprochant le plus de 2

Méthode :

On calcule le numérateur en x=2 (la limite à calculer est en 2 se pourrait être un autre chiffre : voir exemple suivant) : il vaut 4 ( $$3x-2$$ pour x=2)

On a donc pour 2 par valeur supérieur f(2,1) se rapproche de la valeur $$$ 4\over 2,1-2=40$ plus on se rapprocherait de 2 et plus se résultat serait grand et positif (on peut faire ce calcul au brouillon sans le mettre sur sa copie)

Donc $$\lim_$ x \to 2^>f(x)=+\infty$

On a donc pour 2 par valeur inférieure f(1,9) se rapproche de la valeur $$$ 4\over 1,9-2=-40$ plus on se rapprocherait de 2 et plus se résultat serait grand et négatif (on peut faire ce calcul au brouillon sans le mettre sur sa copie)

Donc $$\lim_$ x \to 2^<f(x)=-\infty$

Mais attention on a pas toujours une limite $$+\infty$$ par valeur supérieur comme dans l’exemple suivant :

Prenons $$g(x)=$ 4x+5\over -x+5$

On cherche la limite en 5.

On calcule le numérateur en x=5 il vaut 25.

On a donc pour 5 par valeur supérieure f(5,1) se rapproche de la valeur $$$ 25\over -5,1+5=-250$ et plus on se rapprocherait de 5, plus le résultat serait grand et négatif

Donc $$\lim_$ x \to 5^>f(x)=-\infty$

et ainsi Donc $$\lim_$ x \to 5^<f(x)=+\infty$

Prenons maintenant Donc $$h(x)=$ -4x+7\over -x-4$

La valeur interdite est -4.

Alors par -4 par valeur supérieure signifie -3,9 ; -3,99 ; -3,999 etc
et -4 par valeur inférieure signifie -4,1 ; -4,01 ; -4,001 etc…

Calculons le numérateur en x=-4 il vaut 23.

On a donc pour -4 par valeur supérieure f(-3,9) se rapproche de la valeur $$$ 23\over -(-3,9)-4=-230$ et plus on se rapprocherait de -4, plus le résultat serait grand et négatif

Donc $$\lim_$ x \to -4^>f(x)=-\infty$

et ainsi Donc $$\lim_$ x \to -4^<f(x)=+\infty$

MAIS ATTENTION LE NUMERATEUR PEUT DANS CERTAINS CAS ETRE LUI AUSSI EGALE A ZERO COMME LE DENOMINATEUR.

Dans ce cas il faut factoriser le numérateur et simplifier avec le dénominateur Exemple : $$i(x)=$ 2x^2-x-15\over x-3$