Convertir un nombre dans une base supérieure à 10

Si je devais convertir un nombre N en base n avec n>10 il faudrait créer une nouvelle notation.
Prenons un exemple N = 4789 et n = 12
Chaque digit en base n serait deux digit élémentaire.
On aurait 4789=399*12+1=(33*12+3)*12+1=((12*2+9)*12+3)*12+1=2*12^3+9*12^2+3*12+1
et on le noterait
02090301
Pour des bases n plus grande on aurait une redondance de 0 à l’image des gènes où il y a des redondances de certaines bases azotées.

Voyez vous une meilleure notation sans utiliser d’autres symboles que numérique de notre bonne vieille base dix.

Multiplier X par Y avec les non groupes

Imaginons que je veuille calculer 256*1477
Dans ce cas que j’ai choisis n adéquat tel que 1477 = 2n+255*3
On a donc un produit Uzéro = n =356 avec U255=1121
Donc j’ai plus qu’à dans ma somme calculer 1 quart des termes et faire leur somme et j’obtiens un total de 47264 et 8*47264=256*1477

Là j’ai pris un non groupe d’ordre 4. mais on peut prendre un on groupe cyclique d’ordre n pour faire n*X
Et alors on n’a plus qu’à calculer la somme d’1 nième des termes et la multiplier par 2n

En prenant un non groupe cyclique d’ordre 5 on aura plus qu’à multiplier par 10 ce qui est facile et si l’on veut faire X*Y X<Y on calcule X modulo 5⁵=r
Et X/5^5=n entier On pourra faire 1/5 de la somme de n*5^5*Y et calculer à part r*Y.

Voir pour aller plus loin le fichier joint suivant :

multiplier X par Y

Tirages aléatoires : idées (6)

Quand j’aurai le temps je vais créer un programme qui à partir de mes nombres aléatoires entre 0 et 9 crées des nombres 0 et 1 (0 si le nombre <= 4 et 1 >4) ensuite je vais compter le nombre de séquences 00 01 10 11 puis 000 001 010 011 100 101 110 111 on devrait avoir 1/4 pour les premières puis 1/8 pour les deuxièmes etc…

Je viens de lire un article de la recherche sur débusquer le hasard. Il paraîtrait que si j’obtiens les bonne proba on peut alors dire que ces nombres sont répartis selon le hasard.

Je viens de terminer les calculs avec le groupe des racines huitième de l’unité, j’ai créer trois lancers de pièces avec pile=1 si nombre aléatoire (comme expliqué ici http://idfolles.com/Sur-le-hasard.html) est 4. J’ai compris que pour le lancer de trois pièces il fallait prendre chaque lancer i un groupe différent j’ai donc pris le groupe des racines huitième de l’unité, D4 et H8 (voir toujours le même article pour la notion de période) et donc malchance voici l’étude du Khi2 dans les fichiers joints qui montre bien que la répartition ne colle pas tout à fais avec une proba de 1/8 en fait le KHI2 dans l’image ci dessous est mal calculé : le Khi2 de la distribution est égale à 0.00035191*16777276 = 5904 environ soit bien supérieur au KHI2 théorique.

compteur_de_trois_tirages

etude_Khi2

Peut-être avec des non-groupes d’indice supérieur peut on approcher mieux le 1/8.

le programme en java

creationfichierhasard3.java

Spirales de mes nombres aléatoires : idées (5)

Spirales de mes nombres aléatoires dans le cas des groupes cycliques monogènes

spirales

Remarque : plus on prend un groupe cyclique d’ordre important plus le schéma ressemble à une spirale

Sur cercle de gauche à partir du centre et en partant de A et en comptant de un en un chaque quart, le zéro correspondant à ouest, le un au sud, le 2 à l’est et le 3 au nord.

0,1,2,3

1,2,3,0

2,3,0,1

3,0,1,2

cercle du centre

1,2,3,0

2,3,0,1

3,0,1,2

0,1,2,3

cercle de droite

2,3,0,1

3,0,1,2

0,1,2,3

1,2,3,0

Somme et théories des non groupes : idées (4)

soit f une fonction polynomiale

Je désire calculer la somme des f(n) pour n = 0 jusqu’à n = 255. et tous les 255

Avec mes nombres aléatoires je n’ai qu’à additionner seulement la moitié des nombres. J’obtiens une somme S = somme des f(n)/2

Le problème je ne pouvais pas prendre un polynome d’ordre supérieur ou égal à 4 avec mes nombres aléatoires entre 0 et 3.

J’ai donc pris le non-groupe d’ordre 6 et j’ai même incrémenté de 0,001 en 0,001 sur 6^6 incrémentations. Et tout a fonctionné

calculer_une_somme_d_une_fonction_polynomiale

Une nouvelle théorie

THEORIE DES NON-GROUPES par David
Strainchamps (david.strainchamps@gmail.com)

Cette
théorie est née en 2003. Avant de vous l’évoquer en terme
mathématique je voudrais vous décrire sa génèse qui me semble
toute aussi importante.

La
première idée est que tous les contraires coexistent en même
temps. Et que l’univers produit des règles sans cesses nouvelles
par esprit de contradiction. C’est à dire qu’une règle engendre
toujours une règle qui lui est contraire. Il n’y a pas de lumière
sans matière, de jour sans nuit, de blanc sans noir. Excusez-moi ces
banalités, je force le trait. Ainsi toute chose engendre son
contraire.

Dans
le domaine des mathématiques j’en veux pour exemple la géométrie
euclidienne et celle de Lobatchevski ou Riemann… deux géométries
qui se contredisent.

Et
les contraires sont comme les deux faces d’une même pièce. Tout
est question de point de vue.

C’est
ainsi que par esprit de contradiction je me suis dit que la théorie
des groupes où l’unité est unique pouvait être contredite en
créant une théorie des non groupes ou toute éléments du groupe
pouvait être une unité.

Vous
me direz c’est impossible car alors tous les éléments du groupe
sont identique et on se retrouve avec un ensemble réduit à
l’élément neutre.

J’ai
alors mis de l’eau dans mon vin et j’ai imaginé la chose
suivante : à partir d’un groupe donné, on pourrait associer
à chaque entier un élément du groupe et voir ce que celà donne.

Quelle
association ai je créé : elle est assez simple.

On
part du nombre entier N en base dix, on le convertit dans la base b
qui est l’ordre du groupe G. On obtient un nombre N’ dont tous
les digits sont des éléments de G. Si G est un groupe additif on
additionne tous les digits, on obtient alors un élément de G
associé à N. Si G a une loi interne autre (multiplication ou autre)
on utilise de la même manière cette dernière.

Voilà
ce que j’ai obtenu avec le groupe diédral à quatre éléments, le
groupe des racines cinquièmes de l’unité et le groupe des racines
dixièmes de l’unité. Cela donne les tableaux suivants que l’on
peut retrouver dans le fichier joint à l’adresse suivante :

http://www.idfolles.com/IMG/ods/equiprobabilite_a_partir_des_entiers-2.ods

Ce
que je me suis aperçu c’est que les nombre de 0, 1, 2, 3 sont
uniformément répartis. Je croyais au départ que tous les nombres
obtenus représentaient un hasard pur. Puis je me suis aperçu dans
le cas du groupe diédral qu’il existait une quadri-périodicité :
Au bout de 4 puissance 3 = 64 nombre obtenu on obtient la première
périodicité suivie de 3 autres de 64 éléments chacune puis le
cinquième chiffre obtenu étant 1 (Si N=4 N’=10 et le nombre
obtenu est 1 pour le groupe diédral) c’est donc la deuxième
périodicité qui se reproduit de N=4*64 à N=5*64-1. Comme le
sixième chiffre obtenu est pour N=5 est 0 (car pour N=5 on a N’=11)
c’est donc la première périodicité que l’on obtient de N=5*64
à N=6*64-1.

Pour
le cas du groupe des racines cinquièmes de l’unité d’ordre 5,
on obtient une penta-périodicité de 5 puissance 4 = 625 éléments
chacune.

Je
voudrais montrer que pour le cas des racines dixièmes de l’unité
on obtient une deca-périodicité de 10 puissance 9 éléments
chacune.

La réalisation

Ce petit programme java ci dessous
réalisé avec l’aide de Pierre Bertola m’a permis de prouver pour
les groupes cycliques d’ordre 5, 6, 7, 8 ,9 10 que ma théorie se
vérifiait bien la répétition des n-période

creationfichierhasard1

Nous avons voulu tester la théorie
avec un groupe plus baroque qu’un groupe cyclique.

Nous avons donc réalisé le programme
suivant avec le groupe D4

Là encore si vous le jouer vous verrez
que ma théorie est vérifiée

creationfichierhasard2

Et maintenant

Mes nombres au hasard par ma méthode
ne se répétait jamais, si j’obtenais 0 le suivant ne pouvait être
0

J’ai donc décidé de compter les
nombres entier non plus de un en un mais de 2*(b-1) où b est l’ordre
du groupe.

Eh oh surprise mes nombres sont alors
répartis suivant une loi normale.

Je l’ai tester pour les groupes
cycliques d’ordre 5 à 10

Voici les résultats

indice 10 pas 18

compteur 0 : 43759

compteur 1 : 8198047

compteur 2 : 193188061

compteur 3 : 1299697300

compteur 4 : 3282644014

compteur 5 : 3443679844

compteur 6 : 1507706530

compteur 7 : 252156916

compteur 8 : 12593152

compteur 9 : 92377

indice 9 pas 16

compteur 0 : 17840

compteur 1 : 1583627

compteur 2 : 22270811

compteur 3 : 94628983

compteur 4 : 150417967

compteur 5 : 94628983

compteur 6 : 22270811

compteur 7 : 1583627

compteur 8 : 17840

indice 8 pas 14

compteur 0 : 3004

compteur 1 : 190191

compteur 2 : 1921011

compteur 3 : 5768071

compteur 4 : 6194679

compteur 5 : 2404515

compteur 6 : 289311

compteur 7 : 6434

indice 7 pas 12

compteur 0 : 1244

compteur 1 : 35972

compteur 2 : 201392

compteur 3 : 346327

compteur 4 : 201392

compteur 5 : 35972

compteur 6 : 1244

indice 6 pas 10

compteur 0 : 211

compteur 1 : 4291

compteur 2 : 16661

compteur 3 : 18746

compteur 4 : 6286

compteur 5 : 461

indice 5 pas 8

compteur 0 : 88

compteur 1 : 765

compteur 2 : 1419

compteur 3 : 765

compteur 4 : 88

Et voici le calcul de la comparaison
avec la loi normale pour le groupe d’ordre 9

Voir page suivante

Theorie des non-groupes_html_m2b8efc2d