Introduction à l’optimisation

Chapitre 0 : Introduction à l’optimisation

C’est une branche de l’analyse qui joue un rôle important en ingénierie. Il s’agit de déterminer les extrema de fonctions de plusieurs variables avec ou sans contraintes.

Un problème d’optimisation est de la forme (en minimisation)

(P) min f(x) x élément de C
f : {\mathbb R}^n \mapsto {\mathbb R}
et C un sous ensemble {\mathbb R}^{n}

– f est l’objectif
– C est la contrainte
{\mathbb R}^{n} est l’espace de décision (espace de Banach)

Rq : max f(x) = – min (-f(x)) pour x élément de C
donc on ne parlera que de minimisation

L’ensemble C est généralement de la forme :

C=\{x \in {\mathbb R}^{n}\text{ ou } x \in D : g_{i}(x) \leqslant  0 i = 1,\cdots,m , h(x) = 0\}

g_{i} : {\mathbb R}^{n} \mapsto {\mathbb R} fonctions
h : {\mathbb R}^{n} \mapsto {\mathbb R}^p une application
où D un fermé de {\mathbb R}^{n}

On obtient la classification suivante :

1. le problème (P) est dit convexe :
Si
– f et g_{i} sont convexes
– D convexe
– h affine

2. le problème (P) est dit quadratique :
Si
– f est quadratique (on considérera que le cas convexe)
g_{i} et h sont affines
D = {\mathbb R}^{n}

3. le problème (P) est dit linéaire :
Si
– Toutes sont affines
D = {\mathbb R}^{n}_+

Dans le cas 3 ce sont des problèmes de programmation linéaire.

4. Problème non convexes

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