Une nouvelle théorie

THEORIE DES NON-GROUPES par David
Strainchamps (david.strainchamps@gmail.com)

Cette
théorie est née en 2003. Avant de vous l’évoquer en terme
mathématique je voudrais vous décrire sa génèse qui me semble
toute aussi importante.

La
première idée est que tous les contraires coexistent en même
temps. Et que l’univers produit des règles sans cesses nouvelles
par esprit de contradiction. C’est à dire qu’une règle engendre
toujours une règle qui lui est contraire. Il n’y a pas de lumière
sans matière, de jour sans nuit, de blanc sans noir. Excusez-moi ces
banalités, je force le trait. Ainsi toute chose engendre son
contraire.

Dans
le domaine des mathématiques j’en veux pour exemple la géométrie
euclidienne et celle de Lobatchevski ou Riemann… deux géométries
qui se contredisent.

Et
les contraires sont comme les deux faces d’une même pièce. Tout
est question de point de vue.

C’est
ainsi que par esprit de contradiction je me suis dit que la théorie
des groupes où l’unité est unique pouvait être contredite en
créant une théorie des non groupes ou toute éléments du groupe
pouvait être une unité.

Vous
me direz c’est impossible car alors tous les éléments du groupe
sont identique et on se retrouve avec un ensemble réduit à
l’élément neutre.

J’ai
alors mis de l’eau dans mon vin et j’ai imaginé la chose
suivante : à partir d’un groupe donné, on pourrait associer
à chaque entier un élément du groupe et voir ce que celà donne.

Quelle
association ai je créé : elle est assez simple.

On
part du nombre entier N en base dix, on le convertit dans la base b
qui est l’ordre du groupe G. On obtient un nombre N’ dont tous
les digits sont des éléments de G. Si G est un groupe additif on
additionne tous les digits, on obtient alors un élément de G
associé à N. Si G a une loi interne autre (multiplication ou autre)
on utilise de la même manière cette dernière.

Voilà
ce que j’ai obtenu avec le groupe diédral à quatre éléments, le
groupe des racines cinquièmes de l’unité et le groupe des racines
dixièmes de l’unité. Cela donne les tableaux suivants que l’on
peut retrouver dans le fichier joint à l’adresse suivante :

http://www.idfolles.com/IMG/ods/equiprobabilite_a_partir_des_entiers-2.ods

Ce
que je me suis aperçu c’est que les nombre de 0, 1, 2, 3 sont
uniformément répartis. Je croyais au départ que tous les nombres
obtenus représentaient un hasard pur. Puis je me suis aperçu dans
le cas du groupe diédral qu’il existait une quadri-périodicité :
Au bout de 4 puissance 3 = 64 nombre obtenu on obtient la première
périodicité suivie de 3 autres de 64 éléments chacune puis le
cinquième chiffre obtenu étant 1 (Si N=4 N’=10 et le nombre
obtenu est 1 pour le groupe diédral) c’est donc la deuxième
périodicité qui se reproduit de N=4*64 à N=5*64-1. Comme le
sixième chiffre obtenu est pour N=5 est 0 (car pour N=5 on a N’=11)
c’est donc la première périodicité que l’on obtient de N=5*64
à N=6*64-1.

Pour
le cas du groupe des racines cinquièmes de l’unité d’ordre 5,
on obtient une penta-périodicité de 5 puissance 4 = 625 éléments
chacune.

Je
voudrais montrer que pour le cas des racines dixièmes de l’unité
on obtient une deca-périodicité de 10 puissance 9 éléments
chacune.

La réalisation

Ce petit programme java ci dessous
réalisé avec l’aide de Pierre Bertola m’a permis de prouver pour
les groupes cycliques d’ordre 5, 6, 7, 8 ,9 10 que ma théorie se
vérifiait bien la répétition des n-période

creationfichierhasard1

Nous avons voulu tester la théorie
avec un groupe plus baroque qu’un groupe cyclique.

Nous avons donc réalisé le programme
suivant avec le groupe D4

Là encore si vous le jouer vous verrez
que ma théorie est vérifiée

creationfichierhasard2

Et maintenant

Mes nombres au hasard par ma méthode
ne se répétait jamais, si j’obtenais 0 le suivant ne pouvait être
0

J’ai donc décidé de compter les
nombres entier non plus de un en un mais de 2*(b-1) où b est l’ordre
du groupe.

Eh oh surprise mes nombres sont alors
répartis suivant une loi normale.

Je l’ai tester pour les groupes
cycliques d’ordre 5 à 10

Voici les résultats

indice 10 pas 18

compteur 0 : 43759

compteur 1 : 8198047

compteur 2 : 193188061

compteur 3 : 1299697300

compteur 4 : 3282644014

compteur 5 : 3443679844

compteur 6 : 1507706530

compteur 7 : 252156916

compteur 8 : 12593152

compteur 9 : 92377

indice 9 pas 16

compteur 0 : 17840

compteur 1 : 1583627

compteur 2 : 22270811

compteur 3 : 94628983

compteur 4 : 150417967

compteur 5 : 94628983

compteur 6 : 22270811

compteur 7 : 1583627

compteur 8 : 17840

indice 8 pas 14

compteur 0 : 3004

compteur 1 : 190191

compteur 2 : 1921011

compteur 3 : 5768071

compteur 4 : 6194679

compteur 5 : 2404515

compteur 6 : 289311

compteur 7 : 6434

indice 7 pas 12

compteur 0 : 1244

compteur 1 : 35972

compteur 2 : 201392

compteur 3 : 346327

compteur 4 : 201392

compteur 5 : 35972

compteur 6 : 1244

indice 6 pas 10

compteur 0 : 211

compteur 1 : 4291

compteur 2 : 16661

compteur 3 : 18746

compteur 4 : 6286

compteur 5 : 461

indice 5 pas 8

compteur 0 : 88

compteur 1 : 765

compteur 2 : 1419

compteur 3 : 765

compteur 4 : 88

Et voici le calcul de la comparaison
avec la loi normale pour le groupe d’ordre 9

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Theorie des non-groupes_html_m2b8efc2d